3. Математическая постановка задачи

3.1. Предположения

Поверхность земли считаем плоской, а плотность воздуха и ускорение свободного падения - постоянными.

Ось абсцисс направим в сторону полета лыжников параллельно горизонту, ось ординат - вверх через край стола отрыва, называемый кантом отрыва. Начало координат расположено так, что абсцисса точки старта и ордината критической точки - конца участка приземления - равны нулю. Если нет бокового ветра и других возмущений, центр масс лыжника описывает кривую в вертикальной плоскости, то есть задачу полета можно рассматривать как двухмерную.

Очевидно, прыгун может изменять свои аэродинамические параметры, на которые влияют следующие факторы:

• кинетический момент системы прыгун-лыжи относительно оси, перпендирулярной плоскости рисунка и проходящей через центр масс системы, в момент отрыва и в полете;

• изменение момента инерции системы относительно той же оси в полете;

• различные активные и реактивные эффекты, связанные с вращением различных частей тела вследствие работы мышц.

Результаты многих исследований кинозаписей (Грозин, 1971,Komi et al.,1974) доказывают относительную статичность положения каждого прыгуна в полете. Это упрощает описание картины перемещений и скоростей системы прыгун-лыжи и позволяет использовать индивидуальные экспериментальные характеристики, получаемые в аэродинамической трубе. Благодаря этому было введено предположение о неизменности позы лыжника в полете.

Весь прыжок можно разбить на четыре фазы: взлет, группировку, собственно полет и подготовку к приземлению. Первая фаза длится примерно 0.3 с, вторая - 0.8-0.9 с, третья - 0.3-0.6 с. Все остальное время поза лыжника практически не меняется - см. рис.2 [1].

Рис. 2. Изменение угла атаки прыгуна во время прыжка

(по оси абсцисс отложено отношение текущей дальности к полной дальности прыжка, по оси ординат - угол атаки туловища в градусах по результатам среднего прыжка).

Таким образом, в основной фазе полет прыгуна близок к поступательному движению, что делает естественным предположение о замене рассмотрения прыгуна рассмотрением движения его центра масс.

3.2 Уравнения движения

На прыгуна в полете действуют две основные силы: аэродинамическая сила и сила тяжести. Разложим аэродинамическую силу на две составляющие - подъемную силу и силу лобового сопротивления (см. рис.3) - и запишем второй закон Ньютона для центра масс системы лыжник-лыжи:

, (1)

где - сила тяжести;

- масса системы прыгун-лыжи;

- ускорение центра масс системы;

- ускорение свободного падения;

- подъемная сила;

- сила лобового сопротивления.

Рис. 3. Система координат и основные силы, действующие на прыгуна в полете.

Сила лобового сопротивления направлена по касательной к траектории противоположно скорости и пропорциональна квадрату модуля скорости: , (2)

а подъемная сила направлена по нормали к траектории и по модулю равна: , (3)

где коэффициент [6]. Коэффициентопределяется предельной скоростью системы лыжник-лыжи:

. (4)

Предельная скорость - это скорость установившегося свободного падения тела в воздухе.

Спроецировав (1) на оси координат, путем несложных преобразований приходим к дифференциальным уравнениям движения:

(5)

Понизим порядок системы:

(6)

Следует также помнить, что воздушная среда находится в движении, в воздухе вокруг трамплинной горы задано векторное поле скоростей ветра. То есть все предыдущие уравнения записаны для относительных скоростей и их следует переписать для абсолютных скоростей.

(7)

где - горизонтальная, а- вертикальная составляющая скорости ветра.

Начальные условия:

(8)

Очевидно, что в общем случае задача если и решается аналитически, то очень сложно, поэтому целесообразнее решать ее численно. Критерием окончания расчета будет служить выполнение одного из следующих условий:

• пересечение траектории со склоном горы;

• вылет прыгуна за пределы участка приземления:.

Рассмотрим коэффициенты и. В простейшей модели можно положить их постоянными, как сделано, например, в работе [4]. Однако в действительности эти коэффициенты зависят от ориентации лыжника в воздухе и от его позы. Но у нас есть достаточно оснований считать позу лрыгуна постоянной в полете, такое допущение сделано не только в этой работе, но и в работах [2 - 4]. Ориентацию же лыжника в пространстве определяет угол атаки системы прыгун-лыжи, то есть угол между плоскостью системы и скоростью набегающего потока воздуха. Здесь и далее в подобных случаях под набегающим потоком воздуха понимается скорость воздуха относительно системы лыжник-лыжи. При старых техниках прыжка, изображенной на рис. 3, когда корпус лыжника находился на относительно большом расстоянии от лыж, необходимо было рассматривать отдельно угол атаки корпуса, ног, рук и лыж [1], но при современных техниках и особенно при так называемом V-стиле, когда прыгун раздвигает лыжи и ложится между ними, становясь как бы треугольным крылом, можно приближенно считать, что лыжник и лыжи находятся в одной плоскости и рассматривать один угол атаки - угол атаки всей системы в целом.

Вернемся к началу этой главы. Для силы лобового сопротивления (2) и подъемной силы (3) существуют и другие выражения [6,7]:

, (9)

, (10)

где - плотность воздуха,- коэффициент силы лобового сопротивления,

- коэффициент подъемной силы, - площадь миделя (площадь сечения системы прыгун-лыжи в плоскости, перпендикулярной набегающему потоку воздуха). Если считать, что лыжник и лыжи находятся в одной плоскости, то площадь миделя при заданном угле атакиопределяется следующим образом:, где- площадь миделя при угле атаки 90⁰. Угол атаки складывается из угла между горизонталью и скоростью и угламежду горизонталью и лыжами (рис. 4).

Рис. 4. Определение угла атаки системы лыжник-лыжи.

- угол между лыжами и горизонталью,

- угол между скоростью и горизонталью,

- угол атаки.

Как видно из кинограмм прыжков, приводимых, например, в [1], и из наблюдений за прыгунами, угол между лыжами и горизонталью в полете практически не меняется, меняется лишь угол между скоростью и горизонталью. Тогда, учитывая выражения (2) и (9), можно записать:

. (11)

Из рис. 4 видно, что

. (12)

Аэродинамические коэффициенты иможно найти из опытов в аэродинамической трубе. Однако в настоящее время мы не располагаем этими данными для современных техник прыжка, поэтому в данной работе используется лишь оценка аэродинамических коэффициентов. Рассмотрим лыжника и окрыжающий его воздух. Если рассмотреть воздух, как идеальный газ, состоящий из круглых упругих частичек, то согласно теории удара аэродинамическая сила будет направлена по нормали к поверхности лыж (см. рис. 5).

Рис. 5

Подъемная сила и сила лобового сопротивления в потоке идеального газа.

- полная аэродинамическая сила, составляющими которой являются

сила лобового сопротивления и подъемная сила.

Угол между скоростью и лыжами - это угол атаки . То есть коэффициент

(13)

Окончательно имеем следующие выражения для и:

(14)

где

(15)

В формуле (14) - это угол отрыва, то есть угол, под которым траектория наклонена к горизонтали в начальный момент времени. Минус поставлен потому, что. Подпонимается предельная скорость системы лыжник-лыжи в момент отрыва (в начальный момент времени).

Система дифференциальных уравнений (7) с аэродинамическими коэффициентами, вычисляемыми в каждый момент времени по формулам (14), (15), образует замкнутую систему уравнений. Если к ней добавить начальные условия (8), данная задача будет являться задачей Коши.

В заключение приводится сравнение реальных аэродинамических коэффициентов прыгунов 60-х и нашей оценки. На рис. 6 видно, что вид зависимости коэффициентов друг от друга с угол атаки в качестве параметра слабо отличается, и коэффициент подъемной силы в нашей работе выше, чем в экспериментах тридцатилетней давности. Это хорошо согласуется с тем фактом, что за прошедшие годы прыгуны научились развивать большую подъемную силу. Также если сравнить полученные нами графики зависимости аэродинамических коэффициентов от угла атаки (рис. 7) с аналогичными графиками в [1] на страницах 10-11, 13-14 и 15-16, видно, что вид зависимости сохранился.

Рис. 6.

Зависимость коэффициента подъемной силы от коэффициента сопротивления с углом атаки в качестве параметра.

Кривая А - наша оценка, кривая В - эксперименты в аэродинамической трубе с моделями прыгунов, использующих старую технику прыжка.

Рис. 7.

Зависимость коэффициентов силы лобового сопротивления и подъемной силы от угла атаки.