3) Системы счисления: десятичная, двоичная, шестнадцатеричная. Преобразование чисел из одной системы в другую. Двоичная система счисления

Для представления чисел в микропроцессоре используется двоичная система счисления.  При этом любой цифровой сигнал может иметь два устойчивых состояния: «высокий уровень» и «низкий уровень». В двоичной системе счисления для изображения любого числа используются две цифры, соответственно: 0 и 1. Произвольное число x=a_na_n-1..a₁a₀,a_-1a_-2...a_-m запишется в двоичной системе счисления как

x = a_n·2ⁿ+a_n-1·2^n-1+...+a₁·2¹+a₀·2⁰+a_-1·2^-1+a_-2·2^-2+...+a_-m·2^-m

где a_i - двоичные цифры (0 или 1).

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 7. 8 единиц младшего разряда объединяются в единицу старшего.

Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 15 включительно. Для обозначения базисных цифр больше 9 одним символом кроме арабских цифр 0…9 в шестнадцатеричной системе счисления используются буквы латинского алфавита:

10₁₀ = A₁₆      12₁₀ = C₁₆      14₁₀ = E₁₆ 11₁₀ = B₁₆      13₁₀ = D₁₆      15₁₀ = F₁₆.

Например, число 175₁₀ в шестнадцатеричной системе счисления запишется как AF₁₆. Действительно,

10·16¹+15·16⁰=160+15=175

Двоично-восьмеричные и двоично-шестнадцатеричные преобразования

Двоичная система счисления удобна для выполнения арифметических действий аппаратными средствами микропроцессора, но неудобна для восприятия человеком, поскольку требует большого количества разрядов. Поэтому в вычислительной технике помимо двоичной системы счисления широкое применение нашли восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления для более компактного представления чисел.

Три разряда восьмеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации восьмеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (000) до 7(111). Чтобы преобразовать двоичное число в восьмеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 3 разряда (триады) справа налево. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули. Затем каждая триада заменяется восьмеричной цифрой.   Пример: Преобразовать число 1101110₂ в восьмеричную систему счисления.

Объединяем двоичные цифры в триады справа налево. Получаем

001 101 110₂ = 156₈.

Четыре разряда шестнадцатеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации шестнадцатеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (0000) до F(1111). Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 4 разряда (тетрады) справа налево. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули. Затем каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой.

Аналогичным образом производятся преобразования из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, только двоичные цифры объединяются в группы по 4 разряда (тетрады).   Пример: Преобразовать число 1101110₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Объединяем двоичные цифры в тетрады справа налево. Получаем

110. 0₂ = 6E₁₆.

4) Логические элементы и, или, не (описание, таблицы истинности, условные графические обозначения).

Логический элемент – это такая схемка, у которой несколько входов и один выход. Каждому состоянию сигналов на входах, соответствует определенный сигнал на выходе.

Элемент «И» (AND)- Иначе его называют «конъюнктор». Смотрим таблицу истинности, и проясняем в мозгу принцип. Понять его не сложно: единица на выходе элемента «И» возникает только тогда, когда на оба входа поданы единицы. Это объясняет название элемента: единицы должны быть И на одном, И на другом входе.

Если посмотреть чуток иначе, то можно сказать так: на выходе элемента «И» будет ноль в том случае, если хотя бы на один из его входов подан ноль.

Элемент «ИЛИ» (OR)- По другому, его зовут «дизъюнктор» На выходе возникает единица, когда на один ИЛИ на другой ИЛИ на оба сразу входа подана единица. Этот элемент можно назвать также элементом «И» для негативной логики: ноль на его выходе бывает только в том случае, если и на один и на второй вход поданы нули.

Элемент «НЕ» (NOT)- Чаще, его называют «инвертор».

Элемент «И-НЕ» (NAND)- Элемент И-НЕ работает точно так же как «И», только выходной сигнал полностью противоположен. Там где у элемента «И» на выходе должен быть «0», у элемента «И-НЕ» - единица. И наоборот. Э то легко понять по эквивалентной схеме элемента

Элемент «ИЛИ-НЕ» (NOR)- Та же история – элемент «ИЛИ» с инвертором на выходе.