9.8.2 Диференціальне рівняння коливань керованого колеса

Під час коливань керованого колеса відносно вісі шворня діють наступні моменти: збурюючий момент від дисбансу колеса, момент опору повороту шини, пружний момент у кермовому керуванні, стабілізуючий момент шини керованого колеса, що котиться з відведенням, ваговий і швидкісний стабілізуючі моменти, момент від поздовжніх сил, гіроскопічний та інерційний моменти і момент тертя в шворневому вузлі керованого моста.

Збурюючий момент від дисбалансу керованого колеса.

Схема для визначення збурюючого моменту, викликаного дисбалансом керованого колеса, наведена на рис. 9.15.

Нехай кероване колесо має приведену масу дисбалансу m, розташовану відносно вісі цапфи на відстані R_g і відносно вісі шворня на відстані  l (див. рис. 9.15).

При обертанні колеса з кутовою швидкістю _к виникає відцентрова сила: .

Відносно осі шворня ця відцентрова сила викличе збурюючий момент, що дорівнює:

. (9.41)

Цей збурюючий момент, впливаючи на кероване колесо, викликає за певних умов його коливання .

Оскільки колесо під час коливання повертається відносно вісі шворня з кутовою швидкістю , то виникає момент опору повороту шини, який з урахуванням викладеного вище дорівнює:

, (9.42)

де а – велика вісь відбитка шини рівновеликого прямокутника керованого колеса.

Під час коливань автомобіль не змінює траєкторію свого руху, а тому при коливанні колесо котиться із змінним кутом відведення, що дорівнює куту коливання колеса. Це викликає стабілізуючий момент шини. Враховуючи, що амплітуда коливань не перевищує 2, стабілізуючий момент шини визначають за формулою:

. (9.43)

При невеликій амплітуді коливань з достатньою для практики точністю залежність стабілізуючого моменту шини від кута коливань подамо умовно лінійною і запишемо у вигляді:

, (9.44)

де С_ш – коефіцієнт стабілізуючого моменту шини, який визначають за формулою:

.

Узявши похідну з виразу (9.43), визначимо цей коефіцієнт:

.

Під час коливань водій утримує кермове колесо в нерухомому стані. У цьому випадку виникає закручування керованого колеса відносно кермового, викликаючи пружний момент у кермовому керуванні, що дорівнює:

,

де с_р – жорсткість кермового керування в Нм/град, яку визначають експериментально, згідно з рис. 9.16.

При піддомкраченому лівому керованому колесі, знятій поперечній тязі, зафіксованому в нерухомому стані кермовому колесі, до керованого колеса прикладають через важіль з плечем l момент М=Рl . Одночасно фіксують кут повороту колеса.

Тоді експериментально заміряна жорсткість кермового керування відносно вісі шворня лівого керованого колеса дорівнює:

, (9.45)

де М – прикладений до колеса момент;

– заміряний кут повороту колеса.

Окрім зазначених вище моментів, під час коливання відносно вісі шворня виникають додатково ще чотири моменти:

ваговий стабілізуючий М_ст; швидкісний М_Рб; момент від рівнодіючої поздовжніх сил М_Рп; гіроскопічний момент М_гір.

Аналіз наведених автором в докторській дисертації досліджень показав, що ці моменти є функцією кута поздовжнього нахилу шворня. Їх вплив при коливанні враховується добутком коефіцієнта додаткової жорсткості керованого колеса й амплітуди коливань:

, (9.46)

де С –додаткова жорсткість керованого колеса.

Оскільки ці чотири моменти є функцією кута поздовжнього нахилу шкворня, тому величину цього коефіцієнта рекомендується визначати за емпіричною залежністю:

, (9.47)

де _ш – кут поздовжнього нахилу шворня в град.

Перешкоджати коливанням керованого колеса буде момент тертя в підшипниках шворневого вузла, який завжди буде направлений протилежно збурюючому моменту. Що ж до моментів тертя в кермовому механізмі та кермовому приводі, то через наявність поздовжньої тяги, що має певну пружність, їх вплив на стійкість коліс проти коливань, як показав аналіз проведених досліджень, не є визначальним.

Оскільки коливання керованого колеса відносно вісі шворня відбуваються з кутовим прискоренням , то виникає інерційний момент:

, (9.48)

де J_кш – момент інерції керованого колеса відносно вісі шворня.

Визначають цей момент інерції експериментально підвішуванням двох спарених коліс на пружному стрижні (сталь 65Г  1418 мм), згідно з рис. 9.17. Значення таких моментів інерції для великовантажних автомобілів КамАЗ-5511 та КрАЗ-260 наведені в табл.9.1.

Таблиця 9.1

Моменти інерції коліс відносно вісей шворнів

	Найменування	Маса в кг	Момент інерції в кг.м2
1	Кероване колесо КамАЗ-5511 з маточиною в зборі	184,6	10, 39
2	Кероване колесо КрАЗ-260 з маточиною в зборі	361,15	48,32

З урахуванням наведеного рівняння моментів відносно вісі шворня під час коливання керованого колеса запишемо так:

(9.49).

Зауважимо, що момент тертя у шворневому вузлі М_тр має напрямок, протилежний вектору збурюючого моменту М_зб . Цей напрямок дії моменту враховується відповідним знаком.

Після підстановки значимості складових моментів рівняння (9.49) набуде вигляду:

. (9.50)

Після перетворень маємо:

.

Уведемо позначення:

С_пр=С_ш+С_р+ С=(С_ш+С_р)(1+0,031 ),

де С_пр – наведена жорсткість керованого колеса.

Остаточно диференціальне рівняння коливань керованого колеса запишемо:

. (9.51)

Рівняння (9.51) є неоднорідним диференціальним рівнянням другого порядку. Його загальний розв'язок має вигляд:

, (9.52)

де – загальний розв'язок однорідного диференціального рівняння;

– частковий розв'язок неоднорідного рівняння.

Однорідне рівняння запишемо:

(9.53)

або .

Якщо врахувати, що колова частота власних коливань системи за відсутності демпфування дорівнює , тоді маємо:

. (9.54)

Скористаємося розробками І.О. Вишнеградського (1878 р.) і введемо безрозмірний час .

Тоді маємо: , , .

Після підстановки цих значень до рівняння (9.54) маємо:

,

або .

Рівняння запишемо таким чином:

,

де . (9.55)

назвемо безрозмірним коефіцієнтом демпфування шини. Цей коефіцієнт ураховує демпфувальні властивості шини, які зумовлені моментом опору її повороту під час коливання колеса.

З формули (9.55) визначимо:

і підставимо до рівняння (9.54). У результаті маємо:

. (9.56)

Загальне розв'язання рівняння (9.56) будемо шукати у вигляді:

,

де к_1, к₂ – корені характеристичного рівняння. Для визначення коренів приймемо:

; ; .

Після підстановки до рівняння (9.56 ) маємо:

.

Звідси:

Тоді загальний розв'язок однорідного диференціального рівняння запишемо:

.

Скористаємося перетворювачем Ейлера:

.

Тоді загальний розв'язок однорідного диференціального рівняння буде:

.

Визначимо коефіцієнти с₁ і с₂, взявши такі початкові умови:

1. При

2. При ; ( Т – період коливань ).

При t=0 маємо:

. Звідси .

При ; Т= (n – частота власних коливань системи):

; = .

Після підстановки цих умов до рівняння маємо:

,

або . (9.57)

Умова рівняння (9.57) буде виконуватися при с₂=0.

Тоді загальне рішення однорідного диференціального рівняння запишемо:

(9.58)

На рис. 9.18 наведений графік функції:

З аналізу рис.9.18 випливає, що загальний розв'язок однорідного диференціального рівняння являє собою затухаючу функцію.

Визначимо частинний розв'язок неоднорідного рівняння. Оскільки права частина рівняння не є функцією кута коливань керованого колеса, то розв'язок будемо шукати у вигляді:

.

Після підстановки цих значень до рівняння (9.51) маємо:

.

Звідси: .

Тоді загальний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння запишемо:

. (9.59)

Визначимо умови відсутності коливань керованого колеса. Для цього в рівнянні(9.59) прирівняємо кут коливань .

.

Умова рівняння буде виконуватися, якщо:

Введемо поняття граничний за стійкістю проти коливань момент тертя у шворневому вузлі, під яким будемо розуміти мінімальний момент тертя, що забезпечує стійкість коліс проти коливань. З аналізу вищенаведеної залежності випливає:

, (9.60)

де – граничний за стікістю проти коливань момент тертя у шворневому вузлі.

Якщо момент тертя у шворневому вузлі виявиться меншим за граничний за

стійкістю проти коливань, розрахований за формулою (9.60), то наступають коливання коліс.

З існуючих конструкцій шворневих вузлів найбільш схильні до коливань конструкції повноприводних автомобілів. У шворневих вузлах цих автомобілів встановлені конічні радіально-упорні підшипники кочення. Під час експлуатації автомобілів зношуються ролики і обойми підшипників, зменшується їх переднатяг, а значить, зменшується і момент тертя у шворневих вузлах цих автомобілів. Якщо його величина стає меншою за граничний за стійкістю проти коливань моменту тертя, то наступають коливання керованих коліс.

Що ж до гіроскопічного ефекту, що виникає під час коливання керованих коліс, то він є наслідком коливань, викликаних дисбалансом, але ніяк не джерелом коливань.

Література

1. Солтус А.П. Основы теории рабочего процесса и расчета колесных управляющих модулей(монография). Деп.Укр.НИИНТИ.  501-Ук90 ВИНИТИ «Деп.науч.труды»,1990   7 (290),б/о 203. – 234с. – С. 58–.67, 171–192.

2. Литвинов А.С., Фаробин Я.Е. Автомобиль: Теория эксплуатационных свойств. – М.: Машиностроение, 1984. – 272 с. – С.150–158

3. Солтус А.П., Барун В.Н., Азаматов Р.А. Влияние характеристик элементов рулевого управления на «шимми» управляемых колес автомобиля. // Автомобильная промышленность. – М.,1985. – №2.

4. Солтус А.П., Азаматов Р.А. Шкворневые узлы автомобилей большой грузоподъемности. // Автомобильная промышленность. – М., 1986. – №11.

Контрольні питання

1. Перелічіть джерела, що викликають коливання керованих коліс автомобілів.

2. Чим викликаний збурюючий момент ?

3. У яких двох рухах одночасно бере участь шина під час коливань керованих коліс автомобіля?

4. Що викликає поворот колеса відносно вісі шворня під час коливань?

5. З яким кутом відведення котиться кероване колесо під час коливань?

6. Чим зумовлена приведена жорсткість керованого колеса?

7. Що таке граничний проти коливань момент тертя у шворневому вузлі автомобіля?

8. Перелічіть чинники, що впливають на величину граничного проти коливань моменту тертя у шворневому вузлі автомобіля?

9. Чому коливання керованих коліс мають місце на повнопривідних автомобілях?

10. Які функції виконує момент тертя у шворневих вузлах автомобілів?

11. У якому випадку наступають коливання керованих коліс?