Решения из сборника Кузнецова Л. А / VI. Ряды / 15 вариант / Типовой ряды 15 вариант №5,6,7,8,9
.pdf6 _ 05 _15
в задачникедо2005 годаиздания(в мягкой обложке) :
∞ |
3 n5...(2n |
−1) |
|
|
|
|
|
||||
∑1 |
|
|
|
|
|
||||||
n=1 |
3 |
(n +1)! |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 3 5...(2n −1)(2n +1) |
|
|
|
|
|
||
lim |
un+1 |
= lim |
|
3n+1 (n + 2)! |
= lim |
2n +1 |
= |
2 |
<1 |
||
|
1 3 5...(2n −1) |
|
|
||||||||
n−>∞ |
un |
n−>∞ |
n−>∞ 3(n + 2) |
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
3n (n +1)! |
|
|
|
|
|
|
рядсходится попризнаку Даламбера
в задачнике2005 годаиздания(в твердой обложке) :
∞ |
n |
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
|
|
2n+1 |
|
n |
2n+1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim n |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
= |
|
= |
|
<1 |
|
||||
|
|
1 |
3n +1 |
2 |
9 |
||||||||||||||
n−>∞ |
3n + |
|
n−>∞ |
|
|
3 |
|
|
|
по радикальному признаку Коши рядсходится
6 _ 06 _15
в задачникедо2005 годаиздания (в мягкой обложке) :
∞ |
n |
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
|
|
2n+1 |
|
n |
2n+1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim n |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
= |
|
= |
|
<1 |
|
||||
|
|
1 |
3n +1 |
2 |
9 |
||||||||||||||
n−>∞ |
3n + |
|
n−>∞ |
|
|
3 |
|
|
|
по радикальному признаку Коши рядсходится
в задачнике2005 годаиздания(в твердой обложке) :
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∑n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(n +3)ln2 (2n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|||
сравним этот рядс∑ |
|
|
|
|
|||||||||||||||
n ln |
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
(2n) |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
(n + |
3)ln2 |
( |
2n) |
=1 |
≠ 0, ∞ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n−>∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n ln2 (2n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
∞ |
|
1 |
|
интегралсходится |
||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
||||
∫2 x ln2 (2x) |
|
ln(2x) |
ln 4 |
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
∑n=2 |
сходится(поинтегральному признаку Коши) |
|||
n ln2 (2n) |
||||
∞ |
1 |
|
|
|
∑n=2 |
|
тожесходится |
||
(n +3)ln2 (2n) |
(попредельному признакусравнения)
6 _ 07 _15
в задачникедо2005 годаиздания (в мягкой обложке) :
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∑n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(n +3)ln2 (2n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|||
сравним этот рядс∑ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n ln |
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
(2n) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
(n +3)ln2 ( |
2n) |
=1 |
≠ 0, ∞ |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n−>∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
n ln2 (2n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
∞ |
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
= |
|
интегралсходится |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|||||
∫2 x ln2 |
(2x) |
|
ln(2x) |
ln 4 |
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∑ |
|
|
|
сходится(поинтегральному признаку Коши) |
|||||||||||||||||
n ln |
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
n=2 |
|
(2n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
∑n=2 (n +3)ln2 (2n)тожесходится |
(попредельному признакусравнения)
в задачнике2005 годаиздания (в твердой обложке) :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∑n=1 (n(−+11))22n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
этот ряд знакочередующийся, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
u1 |
|
> |
|
u2 |
|
|
> |
|
u3 |
|
>... −последовательностьиз модулей |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
убывает это ряд Лейбница |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(−1)n−1 |
|
|
|
= lim |
|
1 |
|
= 0 |
|||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
(n +1)22n |
|
|
+1)22n |
|||||||||||||||||||||||
n−>∞ |
|
|
|
|
n−>∞ (n |
|
|||||||||||||||||||||
попризнаку Лейбница рядсходится |
|||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
+1)2 |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n=1 (n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
lim |
un+1 |
|
= lim |
|
(n + 2)22n+2 |
|
= 1 |
<1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n−>∞ un |
n−>∞ |
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)22n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
сходится(попризнаку Даламбера) |
|||||||||||||||||||
|
(n |
+1) |
2 |
2n |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞(−1)n−1
∑(n +1)22n сходится абсолютноn=1
6 _ 08 _15
в задачникедо2005 годаиздания (в мягкой обложке) :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∑n=1 (n(−+11))22n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
этот ряд знакочередующийся, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
u1 |
|
> |
|
u2 |
|
> |
|
u3 |
|
>... −последовательностьиз модулей |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
убывает это ряд Лейбница |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(−1)n−1 |
|
|
|
|
= lim |
|
1 |
|
= 0 |
||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
(n +1)22n |
|
|
|
|
+1)22n |
|||||||||||||||||||||||
n−>∞ |
|
|
|
|
|
n−>∞ (n |
|
||||||||||||||||||||||
попризнаку Лейбница рядсходится |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
+1)2 |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=1 (n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
lim |
un+1 |
|
= lim |
|
(n + 2)22n+2 |
|
= 1 |
<1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n−>∞ un |
n−>∞ |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)22n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится(попризнаку Даламбера) |
||||||||||||||||||
|
(n +1) |
2 |
2n |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
(−1) |
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
сходится абсолютно |
||||||||||||||||||||||
|
(n +1) |
2 |
2n |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в задачнике2005 годаиздания(в твердой обложке) :
∑n=1 |
n |
((−21n))!, α = 0, 001 |
|
∞ |
|
данный_ ряд− ряд_ Лейбница, _ т.к 1)он_ знакочередующийся
2){(21n)!} − убывает
3) lim un = 0
n→∞
Тогда_ абсолютная_ погрешность_ при_ замене_ суммы_ ряда на_ сумму_ первых_ нескольких_ слагаемых_ не_ превашает первого_ тоброшенного_ члена
|
u |
|
= −1 >α; |
|
u |
2 |
|
= |
1 |
|
|
>α; |
|
u |
3 |
|
= − |
1 |
>α; |
|
u |
4 |
|
= |
1 |
<α |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
720 |
|
|
|
|
|
40320 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∑(−1) |
n |
≈ ∑(−1) |
n |
= −1 |
+ 1 |
|
− 1 ≈ −0.460 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n=1 (2n)! |
|
|
n=1 (2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
24 |
|
720 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Oценимпогрешность. Онаскладываетсяиз
1)погрешность заменысуммыбесконечного ряда насуммy первыхk членов
2)погрешностьокругления
∂ = ∂зам +∂окр = 403201 +(0 +10−5 +10−5 )= 403201 + 2 10−5 = 4 10−5 < 0.001
6 _ 09 _15 _1
в задачникедо2005 годаиздания (в мягкой обложке) :
∑n=1 |
n |
α = 0, 001 |
((−21n))!, |
||
∞ |
|
|
данный_ ряд− ряд_ Лейбница, _ т.к 1)он_ знакочередующийся
2){(21n)!} − убывает
3) lim un = 0
n→∞
Тогда_ абсолютная_ погрешность_ при_ замене_ суммы_ ряда на_ сумму_ первых_ нескольких_ слагаемых_ не_ превашает первого_ тоброшенного_ члена
|
u |
|
= −1 >α; |
|
u |
2 |
|
= |
1 |
|
|
>α; |
|
u |
3 |
|
= − |
1 |
>α; |
|
u |
4 |
|
= |
1 |
<α |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
720 |
|
|
|
|
|
40320 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∑(−1) |
n |
≈ ∑(−1) |
n |
= −1 |
+ 1 |
|
− 1 ≈ −0.460 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n=1 (2n)! |
|
|
n=1 (2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
24 |
|
720 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Oценимпогрешность. Онаскладываетсяиз
1)погрешность заменысуммыбесконечного ряда насуммy первыхk членов
2)погрешностьокругления
∂ = ∂зам +∂окр = 403201 +(0 +10−5 +10−5 )= 403201 + 2 10−5 = 4 10−5 < 0.001