1 Описание работы механизма по кинематической схеме

На рисунке 1 изображен механизм станка для нарезания конических зубчатых колёс.

Рисунок 1 – Механизм станка для нарезания конических зубчатых колёс.

Механизм станка для нарезания конических зубчатых колёс состоит из шести звеньев:

1. Стойка.

2. Кривошип.

3. Шатун.

4. Кулиса.

5. Кулисный камень.

6. Суппорт.

Механическая энергия привода станка подводится к входному звену – кривошипу 1,который совершает вращательное движение. Шатун 2 совершает плоскопараллельное движение передавая вращательное движение с кривошипа 1 на кулису 3. Кулиса 3 совершает возвратно-качательноедвижение передавая сложное движение на кулисный камень 4.

1)Возвратно-качательное-вместе с кулисой.

2)Возвратно-поступательное - вдоль кулисы.

Кулисный камень 4 сообщает возвратно-поступательное движение суппорту 5. Суппорт 5 выполняет рабочий ход слева направо и холостой в обратном направлении.

2 Структурный анализ механизма

Рассмотрим исполнительный механизм станка, изображённого на рисунке 1.

Данный механизм состоит из шести звеньев:

1. Стойка.

2. Кривошип.

3. Шатун.

4. Кулиса.

5. Кулисный камень.

6. Суппорт.

Звенья механизма образуют семь кинематических пар:

0 – 1, 1 – 2, 2 – 3, 0 – 3, 4 – 5 – вращательные, одноподвижные, пятого класса;

3 – 4, 5 – 0 – поступательные, одноподвижные, пятого класса.

Указанные кинематические пары – низшие; следовательно, рассматриваемый механизм является рычажным. Звенья механизма движутся в плоскостях, параллельных неподвижной плоскости – исследуемый механизм является плоским. Он не содержит звеньев. Образующих только одну кинематическую пару; следовательно является замкнутым. Звенья механизма образуют два замкнутых контура:

1. 0 – 1 – 2 – 3 – 0.

2. 0 – 3 – 4 – 5 – 0.

Число степеней свободы механизма определим, применяя универсальную структурную формулу Чебышева:

Где n –число звеньев механизма;

Р_н – число низших кинематических пар;

Р_в – число высших кинематических пар;

Таким образом механизм обладает одной степенью свободы.

Выявим избыточные связи: связи типа А и Б в данном механизме отсутствуют. Число избыточны связей, образованных при замыкании контуров (тип В) определим из формулы Малышева:

где W_Ч – число степеней свободы, найденное по формуле Чебышева, W_СМ – число степеней свободы, найденное по формуле Сомова – Малышева:

Таким образом число избыточных связей типа В будет равно :

В соответствии с принципом Ассура, выделим начальный механизм, обладающий числом степеней свободы всего исследуемого механизма. Этот механизм – кривошипный, состоит из стойки 0 и кривошипа 1 (рисунок 2). Остальные звенья образуют ведомую цепь, имеющую нулевую подвижность относительно звеньев начального механизма. Ведомая цепь, в свою очередь, состоит из двух двухзвенных структурных групп: 2 – 3 и 4 – 5.

Рисунок 2 – Структурные группы механизма в соответствии с принципом Ассура.

Таким образом данный механизм состоит из одноподвижного начального механизма стойка 0 – кривошип 1 и двух структурных групп II класса, 2 порядка (ВВВ и ПВП).

3 КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМА

3.1 Постоение плана положений механизма

Рассмотрим механизм, изображенный на рис. 30. Размеры звеньев механизма и закон движения кривошипа приведены в таблице 2.

Таблица 2

lOA , м	LАВ , м	LВС , м	Закон движения кривошипа 1, рад	ω, рад/с	i.передаточное число привода
0.05	0.20	0.20	φ = ωt	280	12

Построим план положений механизма в масштабе . За нулевое примем крайнее правое положение механизма; траектория точки A кривошипа 1 будет отображаться на плане положений окружностью радиуса ОА равного:

Где – длина кривошипа 1;

– масштаб положений механизма.

Разделив эту окружность на 12 равных частей, начиная от нулевого положения, выполним построение кинематической схемы механизма в соответствующих 12 положениях. Результат приведён на рисунке 3.

Рисунок 3 – План положений механизма.

3.2 ПОСТРОЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ДИАГРАММ

Построим функцию положения механизма. На оси абсцисс отложим отрезки по 20 мм, соответствующие поворотам кривошипа 1 на каждые 30⁰. Все 12 положений (полный оборот кривошипа) займут отрезок L =240 мм. Вдоль оси ординат отложим отрезки, соответствующие положениям точки Dсуппорта 5 относительно ее нулевого положения. Результат построений приведен на рисунке 4.

Рисунок 4 – Функция положения механизма.

Вычислим масштаб, в котором отложен угол φ поворота кривошипа 1:

Масштаб времени t:

Где - масштаб, в котором отложен угол φ поворота кривошипа 1;

- угловая скорость вращения кривошипа 1.

Найдём угловую скорость вращения кривошипа 1:

₁

Где - угловая скорость на входе;

i – передаточное число привода.

Таким образом, изображенный на рис. 4 график является не только функцией положения механизма S(φ), но и законом движения S(t) суппорта 5.

Найдем скорость V_D суппорта 5 графическим методом. Так как скорость точки является производной по времени от ее перемещения, т.е. , то задача построения графика скорости точки D сводится к дифференцированию графика перемещения S_D(t) по времени t. Для выполнения операции графического дифференцирования используем метод хорд. Результат выполнения приведён на рисунке 5.

Рисунок 5 – Скорость точки D суппорта 5.

Вычислим масштаб скорости:

Где - масштаб, в котором построен план положений механизма;

- масштаб времени;

- длина вспомогательного отрезка.

Найдем ускорение W_Dсуппорта 5 графическим методом. Для этого продифференцируем график скорости V_D(t) по времени t. Для выполнения операции графического дифференцирования используем метод хорд. Результат выполнения приведён на рисунке 6.

Рисунок 6 – Ускорение точки D суппорта 5.

Вычислим масштаб ускорения:

Где - масштаб скорости;

- масштаб времени;

- длина вспомогательного отрезка.

Таким образом на основе плана положений получены искомые кинематические диаграммы перемещения, скорости и ускорения суппорта станка для нарезания конических зубчатых колёс.

3.3 ПОСТРОЕНИЕ ПЛАНОВ СКОРОСТЕЙ

Вычислить скорость и ускорение суппорта 5 станка для нарезания конических зубчатых колёс в двух положениях(1,5). Рассмотрим первое положение механизма схематично изображенное на рисунке 7.

Рисунок 7 – первое положение станка для нарезания конических зубчатых колёс.

Исходные данные:

l_OA=0.05(м)

l_AB=l_BC=0.2(м)

ω₁=23,3(рад/с)

По теореме о сложении скоростей, можно записать:

где - абсолютная скорость точки B, принадлежащей шатуну 2 и кулисе 3;

- абсолютная скорость точки A, принадлежащей кривошипу 1 и шатуну 2;

- скорость точки В относительно точки А.

Найдем :

Где l_OA– длина отрезка ОА;

ω₁ – угловая скорость кривошипа 1.

Направление вектора - перпендикуляр к OA в сторону вращения кривошипа 1. Скорости и известны только по направлению: - перпендикуляр к ВС, - перпендикуляр к АВ. Для вычисления величин этих векторов удобно воспользоваться методом векторных планов.

Пусть p_v - полюс плана скоростей, тогда примем отрезок p_va, отображающий

абсолютную скорость (рисунок 8),равным 30 мм. Вычислим масштаб плана скоростей:

Где - абсолютная скорость точки A, принадлежащей кривошипу 1 и шатуну 2;

p_va – отрезок, отображающий скорость на плане скоростей.

Согласно векторному уравнению через точку a проведем прямую, перпендикулярную АВ (направление скорости ) и через точку p_v – прямую, перпендикулярную ВС (направление ). Таким образом, в результате пересечения прямых мы получим треугольник p_vab, из которого можно найти длины отрезков скоростей и .

Рассмотрим теперь движение суппорта 5 и кулисы 3. Согласно теореме о сложении скоростей имеем:

Где - абсолютная скорость точки D, принадлежащей кулисе 3;

- переносная скорость точки D, принадлежащей суппорту 5;

- относительная скорость точки D, принадлежащей кулисе 3 относительно точки D, принадлежащей суппорту 5.

Отложим от очки p_vгоризонтальную прямую в направлении движения суппорта 5. В направлении отрезка p_vbчерез точку p_vотложим прямую на угол 45°.

Найдём длину отрезка p_vd₃:

Где p_vb – длина отрезка скорости равного 19.42 мм. Находится путём измерения соответствующего отрезка на плане положений механизма;

L_CD и l_BC – длины отрезков CDи BC(измеряются на плане положений механизма).

Через точку d₃ проведём перпендикуляр отрезку p_vd₃прямую, показывающую направление скорости . Таким образом, мы получим замкнутый прямоугольный треугольник p_vd₃d₅. План скоростей для данного положения механизма выполнен (рисунок 8).

Рисунок 8 – план скоростей первого положения механизма для нарезания конических зубчатых колёс.

Теперь интересующие нас скорости точек звеньев найдём. Измеряя отрезки на плане скоростей и умножая полученные значения на масштаб плана скоростей:

Таким образом, скорость суппорта 5 в положении, указанном на рисунке7, равна 1,16 м/с и направлена влево. Полученный результат соответствует исходным данным: действительно, согласно положению механизма на схеме, крайнее правое положение суппортом уже пройдено и он движется справа налево.

Аналогичным путём построим оставшийся план положения механизма и вычислим скорости звеньев. Результаты всех вычислений приведены в таблице 2.

Таблица 2

Величина	Положения
	1	5
vAм/с	1,16	1,16
vBм/с	0,76	0,422
vBA м/с	1,175	1,13
vD5 м/с	0,556	0,323
vD3 м/с	0,542	0,316
vD5D3 м/с	0,12	0,069
1 рад/с	23,3	23,3
2 рад/с	5,88	5,65
3 рад/с	3,7	2.2

3.4 ПОСТРОЕНИЕ ПЛАНОВ УСКОРЕНИЙ

Вычислим ускорение суппорта 5 станка для нарезания конических зубчатых колёс в двух положениях (1,5). Рассмотрим первое положение механизма, схематично изображенное на рисунке 7. Т. к. шатун 2 совершает плоское движение, можно записать:

где - нормальное ускорение точки В, принадлежащей шатуну 2 и кулисе 3;

- касательное ускорение точки В, принадлежащей шатуну 2 и кулисе 3;

-абсолютное ускорение точки А, принадлежащей кривошипу 1 и шатуну 2; - нормальное ускорение точки В, относительно точки А; - касательное ускорение точки В относительно точки А.

Вычислим значения этих ускорений:

Где - длина отрезка ВС; - угловое ускорение кулисы 3.

Где - длина отрезка ОА;

ω₁- угловое ускорение кривошипа 1

Где l_AB– длина отрезка AB; ω₂ – угловое ускорение шатуна 2.

Таким образом в уравнении присутствуют два неизвестных по величине ускорения. Для их вычисления воспользуемся методом векторных планов. Отложим от полюса плана ускорение p_w отрезок p_wa параллельный положению кривошипа 1, изображающий ускорение точки А кривошипа 1 (рисунок 9). Длину этого отрезка примем равной 30мм. Тогда масштаб плана ускорений будет следующим:

где абсолютное ускорение точки А. кривошипа 1;

- длина отрезка, отображающего ускорение точки А на плане скоростей;

(м * с^-2/мм)

Переведем в отрезки известные нам по величине ускорения:

где - нормальное ускорение точки В относительно точки А;

, - масштаб плана ускорений.

(мм)

p_wb =

где - нормальное ускорение точки В, принадлежащей шатуну 2 и коромыслу 3;

- масштаб плана ускорений.

p_wb = (мм)

Через точку а проведем отрезок аb_а, направленный параллельно АВ из точки В в точку А и равный 7.68 мм. Отрезок p_wb, отображающий нормальное ускорение точки В, принадлежащей шатуну 2 и кулисе 3, длиной 3 мм отложим от точки p_w и направим его параллельно ВС. Через точку b проведем прямую перпендикулярную ВС (направление ускорения ), а через точку b_а проведем прямую перпендикулярную АВ (направление ускорения ). В результате пересечения прямых, мы получим точку b_а* (b*). Таким образом, можно найти длины отрезков bb* и b_аb_а*, отображающих касательные ускорения и соответственно.

Рассмотрим движение суппорта 5 и кулисы 3. Согласно теореме о сложении ускорений имеем:

где - ускорение точки D, принадлежащей суппорту 5;

- ускорение точки D, принадлежащей кулисе 3;

-Ускорение точки D суппорта 5 относительно точки D кулисы 3;

- ускорение Кориолиса.

Найдем ускорение Кориолиса:

где , - угловое ускорение кулисы 3;

- относительная скорость точки D, принадлежащей суппорту 5 относительна точки D, принадлежащей кулисе 3.

= 2 *3,7*0,12=0,888 (м/с²)

Вычислим значения длин отрезков соответствующих ускорений:

где - ускорение Кориолиса;

- масштаб плана ускорений.

(мм)

где и длины отрезков СD и ВС (измеряются на плане положений механизма);

p_wb* - длина отрезка, отображающего полное ускорение точки В.

(мм)

Отложив соответствующие отрезки согласно теореме о сложении ускорений, замкнем векторный многоугольник направлениями ускорений а_D5 и а_D5D3и в соответствии с уравнением, получим точку d₅. Отрезокр_wd₅отображает на плане

ускорение суппорта 5. План скоростей для данного положения механизма

в ыполнен (рисунок 9).

Рисунок 9- План ускорения первого положения механизма станка для нарезания конических зубчатых колёс.

Теперь интересующие нас ускорения точек звеньев найдем, измеряяотрезки на плане ускорений и умножая полученные значения на масштаб плана ускорений:

(м/с²) (м/с²) (м/с²) (м/с²) (м/с²) (м/с²) (м/с²) (рад/с²) (рад/с²)

Таким образом, ускорение суппорта 5 в положении, указанном на рисунке 7, равно м/с² и направлено влево. Полученный результат соответствуети

исходным данным: согласно положению механизма на схеме крайнее правое положение суппортом уже пройдено и он движется справа налево, ускоряясь.

Аналогичным путем построим оставшийся план положений механизма и вычислим ускорения звеньев. Результаты всех вычислений приведены в таблице 3.

Таблица 3.

Величина	Положения
	1	5
м/с2	27.14	27,14
м/с2	31,8	14,88
м/с2	11,79	9
м/с2	20.16	10,74
м/с2	19.98	10,62
м/с2	2.52	1,62
м/с2	0.888	0,303
ℰ1 рад/с2	0	0
рад/с2	47.7	37,35
рад/с2	159	74,4

3.5 ВЫВОДЫ

Выполнив вычисления скоростей и ускорений точек механизма.сперва методом хорд, а затем методом векторных планов, были получены результаты. приведенные в таблице 4 и 5 соответственно. Согласно этим данным можно сделать вывод о том, что значения скоростей и ускорении, полученные двумя методами, практически идентичны, что говорит о верности результатов.

Таблица 4. Таблица 5.

Величина	Положения			Величина	Положения
	1	5			1	5
vD5м\с2 (метод векторных планов)	0,556	0,323		м/с2 (метод векторных планов)	20.16	10,74
vD5м\с2 (метод хорд)	0,556	0,322		м/с2 (метод хорд)	19,8	10,5