Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю. Здесь возможны два варианта
1.
и каждый определитель
.
Это имеет место только тогда, когда
коэффициенты при неизвестных
пропорциональны, то есть каждое уравнение
системы получается из первого уравнения
умножением обеих его частей на число
.
Очевидно, что при этом система имеет
бесчисленное множество решений.
2.
и хотя бы один из определителей
.
Это имеет место только тогда, когда
коэффициенты при всех неизвестных,
кроме
пропорциональны. При этом получается
система из противоречивых уравнений,
которая не имеет решений.
Например, для системы из трёх уравнений:
Ответ.
.
Алгоритм:
1. Вычислите определитель матрицы .
2.
Заменяя первый второй и третий (поочередно)
столбцы матрицы
на столбец свободных членов, вычислите
дополнительные определители
3.
Подставить найденные определители в
формулу (*):
.
4. Запишите ответ.
Пример. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера
Решение.
1.
Найдем определитель матрицы системы
.
Выпишем столбец свободных членов
2.
Заменим первый столбец матрицы
на столбец из свободных членов и вычислим
полученный определитель
.
Тогда
.
Заменим второй столбец матрицы на столбец из свободных членов и вычислим полученный определитель
.
Находим неизвестную
.
Для
нахождения неизвестной
в матрице
заменяем третий столбец на столбец из
свободных членов.
3.
Находим неизвестную
.
4.
Ответ.
.
Б) Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы (матричным методом)
Рассмотрим систему уравнений
Данная
система может быть записана в матричном
виде
,
где
Тогда
решение системы (3.1.) имеет вид
(
обратная матрица).
Алгоритм:
1.
Составить
матрицу системы из коэффициентов при
переменных
,
матрицу- столбец свободных членов
.
2.
Найти матрицу
,
обратную к матрице
.
3. Умножить обратную матрицу на матрицу столбец свободных членов
Пример. Решить систему методом обратной матрицы (матричным методом)
Решение.
Составить
матрицу системы из коэффициентов при
переменных
,
матрицу- столбец свободных членов
.
Найдем матрицу обратную матрице системы:
.
Алгебраические дополнения
, 
, 
, 
, 
,
, 
, 
.
Матрица
из алгебраических дополнений
.
Обратная
матрица
Находим
решение системы
,
,
Ответ. , , .
Выберите свой вариант и решите задачу.
Задание 4. Решите систему: а) методом Крамера; б) методом обратной матрицы |
|||
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
Задание 5. Решить систему методом Гаусса.
При решении систем линейных уравнений используют также метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Он состоит в следующем: систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе со ступенчатой матрицей (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Эти действия называют прямым ходом. Из полученной ступенчатой системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).
При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:
1) умножение и деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число;
2) сложение и вычитание уравнений;
3) перестановку уравнений в системе;
4) исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю.