Алгоритм вычисления произведения матрицы на матрицу :

1) Проверить, совпадает ли число столбцов матрицы с числом строк матрицы , («согласованы» ли порядки множителей). Только в этом случае можно умножить A на B. В противном случае вычислить C нельзя.

2) Определить порядок матрицы произведения: имеет порядок ,где m – число строк первого множителя A, k – число столбцов второго множителя B.

3) Вычислить каждый элемент матрицы произведения C по формулам:

4) Выписать полученную матрицу C.

Примеры выполнения заданий.

а) Найдите произведение матриц , если .

Решение:

1. Проверим, совпадает ли число столбцов матрицы А (2)с числом строк матрицы B (2)– совпадают, порядки множителей «согласованы».

2. Определим порядок матрицы произведения: имеет порядок , где 2 – число строк первого множителя A, 2 – число столбцов второго множителя B.

3. Вычислим каждый элемент матрицы произведения C по формулам:

4. Выписать полученную матрицу C.

Ответ: .

б) Пусть . Найдите произведения и (если это возможно).

Решение.

Произведение не существует, так как число столбцов матрицы B не совпадает с числом строк матрицы .

в) Найдите произведение матриц , если ;

Решение:

.

Ответ: .

Выберите свой вариант и решите задачу

Задание 2. Найдите произведение матриц
1		2
3		4
5		6
7		8
9		10

Задание 3 . Найдите обратную матрицу

Определение. Матрица называется обратной для квадратной матрицы , если .

Матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда её определитель не равен нулю.

Определение. Матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю.

Квадратная матрица , определитель которой не равен нулю, имеет единственную обратную матрицу

, где матрицы . алгебраическое дополнение к элементу матрицы.

Алгоритм вычисления обратной матрицы второго и третьего порядков (метод присоединённой матрицы)

1. Найдите определитель матрицы . Если определитель отличен от нуля, то матрица имеет обратную матрицу.

2. Транспонируйте матрицу . (Поменяйте местами столбцы и строки матрицы с сохранением порядка, т.е. первый столбец поставьте на месть первой строки, второй столбец на место второй строки и т.д.).

3. Найдите алгебраические дополнения элементов матрицы . Заменим каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением: , – дополнительный минор, он равен определителю матрицы, которая получается вычёркиванием i-ой строки и j-го столбца. Составьте союзную (присоединённую) матрицу из алгебраических дополнений транспонированной матрицы.

4. Вычисляем обратную матрицу .

5. Проверить правильность вычисления обратной матрицы по формуле: .

Пример. Найти матрицу, обратную к матрице , если дана матрица .

Решение: Применим алгоритм нахождения обратной матрицы.

1. Найти определитель матрицы . Если определитель отличен от нуля, то матрица имеет обратную матрицу.

Матрица имеет обратную матрицу, так как .

2. Найдем матрицу , транспонированную к матрице поменяем строки и столбцы местами с сохранением порядка: .

3. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы . Заменим каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением: , – дополнительный минор, он равен определителю матрицы, которая получается вычёркиванием i-ой строки и j-го столбца.

.

Составим союзную матрицу:

4. Вычисляем обратную матрицу .

5. Проверим правильность вычисления обратной матрицы по формуле:

Ответ.

Выберите свой вариант и решите задачу.

Задание 3. Найдите матрицу, обратную к данной
1		2
3		4
5		6
7		8
9		10

Задание 4. Решить систему: а) методом Крамера; б) методом обратной матрицы.

а) Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

Система имеет единственное решение при условии, что определитель системы отличен от нуля, т.е. , которое определяется по формулам (*), где

Формулы (*) называются формулами Крамера.

Теорема Крамера. Система уравнений с неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.