Решение

Найдем температуру в «холодном» калориметре после переливания. Q₁=Q₂;

сm(t₁ - t_x) = с∆m(t_г – t₁) (1), где индекс г – горячая вода, х – холодная, t₁ – температура, которая установится после первого переливания; ∆m – масса переливаемой воды.

t₁=(nt_г + t_х)/(1+ n), n = ∆m/m (1.1)

Теперь из «холодного» с температурой t₁ перельем в «горячий» и найдем его температуру. с(m-∆m) (t_г – t₂) = с∆m(t₂ – t₁) (2), где t₁ – температура «горячего» после переливания.

t₂ = (nt_х + t_г)/(1+ n) (3) Т.о. после 2-х переливаний имеем: t₂ – t₁ = (t_г – t_х)(1-n)/(1+n) (4)

Аналогично после 3 и 4 переливаний имеем: t₄ – t₃ = (t_г – t_х)(1-n)²/(1+n)² (5)

Для пятого и шестого t₆ – t₅ = (t_г – t_х)(1-n)³/(1+n)³ и так далее (6)

В нашем случае n = 0,25; (1-n)/(1+n)=0,6; t_г – t_х =10°С.

Тогда после двух переливаний разница температур будет равна

t₂ – t₁ = (t_г – t_х)(1-n)/(1+n) = 6°С, после четырех 3,6°С, после шести 2,2°С, после восьми 1,3°С, после десяти 0,8°С.

Ответ: 10 переливаний

Задача 16. Температура батареи

Известно, что если температура на улице равна -20 ^оС, то в комнате температура равна +20 ^оС, а если температура -40 ^оС, то в комнате устанавливается температура +10 ^оС. Найдите температуру батареи, отапливающей комнату.

Решение.

Передаваемая в единицу времени теплота пропорциональна разности температур. Тепловая мощность, рассеиваемая батареей в комнате, равна k₁(T – T_к), где k₁ - некий коэффициент; Т-температура батареи, Т_к - температура в комнате. Тепловая мощность, рассеиваемая из комнаты на улицу, будет k₂(T_к – T_у), где k₂ - некий другой коэффициент; Т_у - температура на улице. В условиях равновесия рассеиваемая батареей мощность равна мощности, рассеиваемой из комнаты на улицу. k₁(T – T_к1) = k₂(T_к1 – T_у1);

аналогично во втором случае k₁(T – T_к2) = k₂(T_к2 – T_у2)

Поделим одно уравнение на другое. (T – T_к1)/(T – T_к2) = (T_к1 – T_у1)/(T_к2 – T_у2)

Отсюда Т = (T_к1 – T_у1)(T – T_у2) = (T – T_к1) (T_к2 – T_у2);

Т=(Т_к2Т_у1 - Т_к1Т_у2)/(T _к2 + Т_у1 - Т_у2 - Т_к1) = 60 ^оС.

Чтобы жильцы чувствовали себя комфортно, коммунальщики должны при наступлении морозов повышать температуру батарей отопления. К сожалению, не везде так поступают.

Задача 17. Замена трубы отопления

Для отопления дома горячая вода температуры Т₁ = 353 К подается в радиаторы по трубе площадью поперечного сечения S₁ = 60 см² со скоростью V₁ = 6 м/с. При ремонте старую трубу заменили на новую с площадью поперечного сечения S₂ =55 см². Какой должна быть скорость V₂ движения воды температуры T₂= 358 К по новой трубе, чтобы температура T₀ = 298 К в доме не изменилась?

Решение Замена трубы отопления

Горячая вода приносит в дом тепло, а дом передает это тепло улице. Если уменьшить количество теплоты, подводимое с горячей водой, температура в доме понизится. Передача тепла от горячего тела к холодному описывается законом Ньютона – скорость передачи, (то есть в нашем случае количество теплоты, получаемое домом от воды), пропорционально разности температур горячего и холодного тел. То есть, если вода в той же трубе будет горячей, количество теплоты, приносимое водой за единицу времени будет больше. Но, конечно, важно, сколько воды приходит в единицу времени. Если вода супергорячая, но ее мало, то и теплоты мало. В итоге таких простых рассуждений приходим к выводу, что должна быть такая формула для количества теплоты, приносимого водой в единицу времени ∆Q/∆t=k(T_в-T_п)·∆m/∆t (1). Коэффициент k зависит от конструкции радиаторов (батарей). Количество воды, протекающее через радиаторы в единицу времени зависит от скорости воды в трубах и от площади сечения труб ∆m/∆t = ρVS (2) Требование неизменности потока тепла в помещение запишется в виде

k(T_в1-T₀)·ρV₁S₁= k(T_в2-T₀)·ρV₂S₂ ; V₂=V₁(T_в1-T₀)·S₁/(T_в2-T₀)·S₂ (3)_. Ответ: V₂=V₁=6м/с

*Задача 18. Жара в холодильнике

В жаркие летние дни, когда в комнате установилась температура t₀ = = 30°С, экспериментатор Глюк обратил внимание на то, что время работы двигателя холодильника стало вдвое превышать время бездействия. Решив оптимизировать его работу, экспериментатор регулятором изменил температуру внутри холодильника на ∆θ = 9°С. В результате, время бездействия стало вдвое больше времени работы. Определите:

1. На какие температуры t₁ и t₂ был настроен регулятор в начале и в конце эксперимента?

2. На какую внутреннюю температуру t_m надо выставить регулятор, чтобы двигатель холодильника начал работать без перерыва?

3. При какой выставленной регулятором температуре t₃ частота включения холодильника станет максимальной? Указание: Регулятор задает температуру внутри холодильника t в небольшом интервале t±∆t/2. Когда температура внутри становится равной t+∆t/2, двигатель холодильника включается, когда она снижается до t − ∆t/2 — выключается. Считайте, что:

1) мощность подводимого тепла пропорциональна разности температуры внутри холодильника и окружающей среды и постоянна во всем интервале внутренних температур t ± ∆t/2.

2) тепловая мощность, отбираемая двигателем во время его работы у внутреннего объема холодильника, не зависит от температур.

3) изменением температуры в комнате можно пренебречь.

Решение. Жара в холодильнике.

Пусть P — мощность поступающей за счёт теплообмена из окружающей среды теплоты,

P = α(t − t₀), P₀ — мощность отводимой за счёт работы холодильника теплоты, C — теплоёмкость холодильника с содержимым.

1. Для нагрева холодильника на ∆t требуется время T (время бездействия):

T = C∆t/P = C∆t/α(t₀ − t) (1)

Далее включается двигатель и температура в холодильнике понижается на ∆t за время τ (время работы): τ = C∆t/(P₀ – P) = C∆t/(P₀ − α(t₀ − t)) (2)

Пусть изначально температура в холодильнике была равна t = t₁, при этом τ = 2T , откуда, с учётом (1) и (2) получим: t₁ = t₀ − 2P₀/3α .

Во втором случае 2τ = T при t = t₂, откуда с учётом (1) и (2) получим: t₂ = t₀ − P₀/3α . Тогда θ = t₂–t₁ = P₀/(3α), откуда t₁ = t₀–2θ = 12°С, t₂ = t₀–θ = 21°С.

2. Двигатель холодильника будет работать непрерывно, если мощность отводимой им теплоты будет меньше или равна мощности теплоты, подводящейся из окружающей среды: P₀<α(t₀ − t), откуда t<t₀ − P₀/α , значит, t_m = t₀ − P₀/α = t₀ − 3θ = 3°С.

3. В решении первого пункта задачи было показано, что время между двумя последовательными включениями холодильника равно

T + τ = C∆t/P + C∆t /α(t₀ − t) = C∆tP₀ /α(t₀ − t)(P₀ − α(t₀ − t)). Частота включения холодильника максимальна, когда максимальна величина y = α(t₀ − t)(P₀ − α(t₀ − t)). Для удобства обозначим (t₀ − t) за x. График y(x) = αP₀x − α²x² — парабола, ветви которой направлены вниз, поэтому y максимально для вершины параболы. Координата вершины параболы x_в = P₀/(2α), значит, t₃ = t₀ − P₀/2α = t₀ – 3 θ /2 = 16,5°С.

ДЗ

Задача 1 Стальной кубик.

Горячий стальной кубик ставится на поверхности льда. Какую минимальную температуру должен иметь кубик, чтобы полностью погрузиться в лед? Температура льда 0°С, удельная теплоемкость железа 460Дж/кг°C, плотность железа 7,8г/см³; удельная теплота плавления льда 3,3 Дж/кг, плотность льда 0,9кг/см³. Потерями тепла пренебречь, изменением потенциальной энергии кубика пренебречь, считать, что объем «лунки», которая образуется в результате таяния льда, равен объему кубика.