7. Моделирование непрерывных случайных величин с произвольным законом распределению (X)

Функция распределения F(x) и плотность вероятности (x) связаны соотношением:

_x

F(x) = _- (x) dx;

(х) Эта площадь равна F(x) х₀

значению F(x₀) 1 F(x₀) = ₀ (x) dx

0 x₀ x 0 х₀ x

Существует три способа получения случайных чисел, распределенных по заданному закону (x): способ Неймана, способ обратной функции и способ Бусленко.

1. Способ Неймана.

М

₁

0 a ₂ b x

(x)

Необходимо смоделировать случайные числа, распределенные по закону (х).

1. Отмечаем интервалы [a,b] и [0,M], где M – max (x).

2. Моделируем точку со случайными координатами:

_1(0,M), _2(a,b); ₁ = M * _(0,1); ₂ = (b – a) * _(0,1) + a

3. Проверяем, лежит ли точка над (х) или под (х),

т.е. (₂) ₂ ? Если (₂)  ₁, то точка принимается, т.е. мы рассматриваем ее как распределенную по закону (х). При (₂)  ₁ точка отбрасывается. Совокупность принятых точек будет распределена по закону (х).

Действительно, принятие точки означает, что она соответствует моделируемому закону (х). Чем больше значение (х), тем большее количество точек будет принятым и наоборот. Следовательно, большим значениям (х) будет соответствовать пропорционально большая плотность принятых точек на оси х, что и требуется для моделирования плотности вероятности.

2. Способ обратной функции.

Теорема об обратной функции: “Если некоторая случайная величина имеет плотность вероятности (х), то случайная величина

_xi

F(x_i) =  (x) dx

^{- }

будет распределена по равномерному закону в интервале [0,1] независимо от вида функции (х). Графически это можно проиллюстрировать следующим образом:

1 F(x)

F(x_i)

(x)

0 x_i x

равномерное _xi

распределение (F(x_i)) (x) dx

^{- }

Все значения F(x_i) равновероятны (распределены по равномерному закону)

На основе этой теоремы моделируем закон (x):

1. Моделируем случайное число _{i (0,1)} и рассматриваем его как _{i (0,1)} = F(x_i).

2) Составляем интегральное уравнение:

_{x i}

_{i (0,1)} =  (x) dx.

^{- }

и решаем его относительно верхнего предела интегрирования x_i. В соответствии с теоремой об обратной функции числа x_i будут распределены по закону (x).

Пример: Смоделируем (х) = е^-х (показательный закон).

(x) = e^-x

x=T

_{xi xi}

_(0,1) =  e^-x dx; _(0,1) = -e^-x  = e^-xi + 1; x_i = -1/ * ln (1 - _(0,1)).

^{0 0}

Число x_i можно рассматривать как интервал между заявками.

Прежде чем рассматривать способ Бусленко, рассмотрим следующий вопрос.

Недостаток – невсегда можно решить интеграл.

Достоинства – мы получаем формулу при которой надо сформулировать только 1 случайное число и подвергнуть его преобразованию по этой формуле.