Моделирование случайных чисел распределенных равномерно в интервале (0,1).
Используется метод вычетов.
i+1={Ai}
A – некоторый множитель подбираем для компьютера исходя из размера сетки и влияет на качество получаемых чисел.
{} – функция модуля, т.е. мы отбрасываем целую часть и рассматриваем только дробную.
Рассмотрим графики этой функции при разных значениях А. Случайные числа находятся на этих графиках, но положение этих чисел в пределах графика случайно:
i+1 = f { i
} А = 1 i+1
= { 2 i
} А = 2 i+1
= { A i
} A>>1
2
1
1 1
0 1 i 0 1 2 i 0 1 i
случайные числа заполняют квадрат плохо, неравномерно |
заполнение более равномерное, т.е. качество этой последовательности выше. |
()
0 0,1 0,2 0,3 0,4 . . . 1
Если построить гистограмму полученной последовательности псевдослучайных чисел, то она будет иметь примерно такой вид. Отклонения от равномерного распределения будут тем меньше, чем больше длина последовательности и выше ее качество.
Моделирование случайных чисел, распределенных по равномерному закону в произвольном интервале (a,b).
Равномерное распределение в произвольном интервале (a,b) получается на основе равномерного распределения в интервале (0,1) путем преобразования по формуле:
(a,b) = a + (b – a) (0,1) ;
Характеристики этой последовательности:
M(a,b) = (b + a) / 2; M – математическое ожидание
D(a,b) = (b – a)2 / 12; D – дисперсия
= D = (b – a) / 2 3; – квадратичное отклонение
()
0 1 a a+1 b
Среднее значение 0.5 |
сдвиг на а и изменение длины интервала до значения (b-a) среднее значение (a+b)/2 |
Моделирование случайных чисел, распределенных по нормальному закону (закону Гаусса).
Это моделирование основано на центральной предельной теореме теории вероятностей – теореме Чебышева: “Сумма большого числа случайных слагаемых, если ни одно из них не преобладает над другими, при неограниченном росте числа слагаемых стремится к нормальному закону распределения.”
N
(0,N) = i (0,1) , где - число, распределенное по нормальному закону;
i=1 - число, распределенное по равномерному закону.
Проиллюстрируем переход от равномерного закона к нормальному:
(1) (2) (1 + 2)
для
(1+2+3)
0 0,1 0,2 . . . 1 1 0 1 2 0 1 2 3 1 + 2
При сложении двух случайных чисел из интервала (0,1) в сумме получаем значение 0 только при 1 = 2 = 0 и значение 2 только при 1 = 2 = 1, но зато сумма, равная 1, получается при многих комбинациях 1 и 2, например, 0,1 + 0,9; 0,2 + 0,8; 0,3 + 0,7 и т.д. Таким образом, в интервале (0,2) распределение неравномерное. Для двух чисел – это треугольное распределение. При N = 5,6,7 сумма будет распределена почти по нормальному закону, имеющему вид:
(
х) Нормальный
закон Гаусса.
N/2 N х