1. Формулы Эрланга для смо с неограниченной очередью.

1. Одноканальная СМО с неограниченной очередью. Будем считать, что интенсивности потоков заявок и обслуживания равны соответственно  и , а очередь не имеет ограничения на время ожидания. Требуется найти вероятности состояний СМО:

Р₀ – канал свободен;

Р₁ – канал занят одной заявкой, а очереди нет;

Р₂ – канал занят, и одна заявка в очереди;

…

Р_n – канал занят, и (n-1) заявок в очереди;

а также следующие характеристики СМО:

L_{системы} – среднее число заявок в системе;

W_{системы} – среднее время пребывания заявки в системе;

L_оч – среднее число заявок в очереди;

W_оч – среднее время пребывания заявки в очереди;

Р_зан – вероятность занятости канала.

Формулы Эрланга для данной СМО имеют вид:

Р₀ = 1- ; Р₁ = Р₀; Р₂ = ²Р₀; …; Р_n = ⁿР₀;  < 1.

Если >1, то очередь неограниченно растет, так как заявки приходят чаще, чем обслуживаются.

L_{системы} = /(1-); W_{системы} = /(1-); Р_зан = ;

L_оч = ²/(1-); W_оч = ²/(1-).

Абсолютную пропускную способность А и относительную пропускную способность Q не имеет смысла вычислять, так как очередь не ограничена и каждая заявка будет обслужена, следовательно, Q = 1, A = .

2. N- канальная СМО с неограниченной очередью. Формулы Эрланга для N- канальной СМО с неограниченной очередью имеют вид:

Р₀ = (1 +  + ²/2! + ³/3! + … + ⁿ/n! + ⁿ⁺¹/n!(n -) )^–1;

Р₁ =  Р₀; Р₂ = ²/2! Р₀; …; Р_n = ⁿ/n! Р₀

К_ср =  /  = ; L_оч = n*p*Р_n / (n – p)² L_{системы} = L_оч +  W_оч = L_оч / W_{системы} = L_{системы} /

Пример:

Пусть железнодорожная касса имеет два окошка. В каждом продают билеты в пункты А и В. Интенсивность потока пассажиров, покупающих билеты в А и В одинакова: _А = 0,45; _В = 0,45; _АиВ = 0,9. Время обслуживания пассажира кассиром в каждом окошке одинаково и равно в среднем 2 мин; то есть = 0,5. При этих условиях оказалось, что у кассы скапливается очередь. Поступило предложение: одну кассу сделать продающей билеты в А, другую – в В, то есть из одной двухканальной СМО сделать две одноканальных.

Решили сначала подсчитать характеристики очереди для двухканальной СМО и при _АиВ = 0.9,  = 0.5,  =  /  = 1.8 получили: Р0 = 0,0525; Lоч = 7.68; Wоч = 8.54 минуты.

Если из двухканальной СМО сделать две одноканальные, то при  = 0.45;  = 0.5;  = 0.9. получим: Lоч = 8.1; Wоч = 18 минуты. Таким образом, предложение оказалось неправильным.

Формульными методами можно проектировать только ограниченный круг СМО с простейшим потоками заявок и обслуживания. Сложные СМО – это системы с непростейшими, произвольными потоками заявок и обслуживания. Как правило, это системы с последействием. Их состояние зависит от предыдущего состояния. Такие системы называются также немарковскими системами. Системы, состояние которых не зависит от предыдущего состояния, называются марковскими. Для немарковских многоканальных систем получить точные расчётные формулы в общем случае не удается. В связи с этим для проектирования таких систем применяются статистические методы имитационного моделирования на ЭВМ, получившие общее название метод Монте-Карло, который будет рассмотрен далее..