Содержание

Введение………………………………………………………3

1. Основные понятия математической статистики…………4

2. Применение математической статистики в экономике….9

3. Задачи математической статистики……………………...15

Заключение…………………………………………………..18

Список литературы………………………………………….19

Введение

Математическая статистика — наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многом математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надежность и точность выводов, которые делают на основании статистического материала (напр. оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

Зарождение статистики было связано с потребностями государственного управления и понималось как государствоведение. Одновременно развивались методы статистики и как разновидность счета нашли применение при организации и анализе результатов хозяйственного учета (подворные переписи, монастырские записи и т.п.), изучении населения, а также в сельском хозяйстве, медицине, биологии, социально-экономических исследованиях. Вместе с методами получили развитие отдельные разделы статистики, например вероятностных методов и актуарных вычислений.

В этой работе показано как по набору значений случайной величины в нескольких опытах можно сделать как можно более точный вывод о ее распределении. Примером такой серии экспериментов может служить социологический опрос набор экономических показателей или, наконец, последовательность гербов и решек при тысячекратном подбрасывании монеты.

Все вышеприведенные факторы обуславливают актуальность и значимость тематики работы на современном этапе направленной на глубокое и всестороннее изучение основных понятий математической статистики и ее основных задач.

В связи с этим целью данной работы является систематизация накопление и закрепление знаний о понятиях математической статистики.

1.Основные понятия математической статистики

Элементарным событием называется любой элемент пространства элементарных событий.

Пространством элементарных событий называется множество исходов некоторого эксперимента.

Событием называется любое подмножество пространства элементарных событий.

Генеральной совокупностью называется достаточно большое, быть может, бесконечное подмножество элементарных событий.

Случайной величиной называют функцию от элементарного события.

Экспериментом называется функция, принимающая значение на пространстве элементарных событий.

Статистическая моделью называется совокупность законов, которым подчиняется процедура эксперимента.

Случайной выборкой¹ или просто выборкой¹ объема n называется набор некоторого числа элементов генеральной совокупности, наблюденных при  серии из n одинаковых экспериментов.

Статистикой называется любая измеримая функция от выборки.

Функцией правдоподобия называется плотность распределения выборки², как n-мерной случайной величины.

к-й порядковой статистикой выборки х₁,…,х_n называется такая случайная величина х^(k), что для каждого набора значений выборки х₁,…,х_n  х^(k) равна такому х_i,для которого найдется ровно i-1 элементов выборки, которые меньше х_i.

Если х₁,…,х_n – независимые, одинаково распределенные случайные величины, что распределение к-й порядковой статистики задается следующей формулой: , где B(a,b) – плотность бета распределения.

Вариационным рядом называется последовательность порядковых статистик x⁽¹⁾,…,x⁽ⁿ⁾.

Выборочным квантилем порядка р называется значение х_([np]+1).

Квантилью z_p для с.в. х с функцией распределения F(x)  называется любой корень уравнения F(z_p)=p.

Эмпирическим распределением называется распределение, которое каждому элементу выборки1 х1,…,хn ставит в соответствие вероятность1/n.

Эмпирической функцией распределения называется функция Fn(x)=Á(-¥,x).

Математическое ожидание эмпирической функции распределения M(x) равно среднему арифметическому значений х₁,…,х_n.

Дисперсия эмпирической функции распределения  .

Выборочным моментом порядка k называется значение  .

Теорема. Для эмпирического распределения Á_n(x) и распределения генеральной совокупности Á (x) при n®¥  . Условным законом распределения д.с.в. h при заданном значении д.с.в. x=х_kназывается набор условных вероятностей   l=1,…,m.

Условным математическим ожиданием д.с.в. h при заданном значении д.с.в. x=х_kназывается сумма  . Имеет место равенство M[M(x½h)] = Mh. М (Р (h = y_l| x=x_k)) = P(h = y_l).

Достаточные статистики. Теорема Неймана-Фишера (критерий достаточности)  СКТ 221.

Достаточной называется такая статистика t(x), что для случайной величины x с распределением p(x,q) условное распределение P(x | t(x) = t₀) не зависит от параметра q (то есть через нее можно определить значение параметра q).

Теорема. Статистика t(x)  с распределением  p(x,q)=g(t(x);q)h(x) является достаточной.

Статистические оценки. Св-ва оценок: состоятельность, несмещенность, эффективность. Задача оптимального статистического оценивания СКТ 215.

Оценкой для независимой выборки (x₁,…,x_n) называют статистику  ,предназначенную для использования  вместо параметра  q, в качестве его приближения, однозначно определяемому исходным распределением F из семейства распределений F_q(x).

Несмещенной называется такая оценка  , что ее мат. ожидание равно q.

Состоятельной называется последовательность оценок  , сходящаяся по вероятности к q.

Эффективной называется такая оценка   что ее дисперсия минимальна среди последовательности оценок  .

Улучшение оценок с помощью достаточных статистик. Теорема Колмогорова Блекуэла Рао ВДВ СКТ 222.

 Теорема Колмогорова Блекуэла Рао. Пусть t(х) -  достаточная статистика семейства распределений p(x,q) , а   - несмещенная оценка параметра q с конечной дисперсией для некоторой выборки (x₁,…,x_n) . Тогда условное мат. ожидание  при фиксированном t(х)  будет несмещенной оценкой q с дисперсией не превосходящей дисперсию  .

Эффективностью оценки   с математическим ожиданием g(q) называется отношение  .

Эффективной называется оценка, эффективность которой равна 1.

Методом моментов называют способ нахождения оценок _к  к=1,…,r, получаемых как решение системы m_k0=m_k(q₁,…,qr), где  , а m_k  - моменты порядка кдля независимой выборки с плотностью p(x,q₁,…,q_n).

Теорема. Непрерывные оценки  _к  к=1,…,r, получаемые методом моментов,состоятельны.

Асимптотические св-ва статистических оценок. Состоятельность, асимптотическая эффективность, асимптотическая нормальность.

Асимптотически эффективностью оценки  _n называется конечным предел  .

Асимптотически эффективной называется такая оценка, асимптотическая эффективность к-рой равна единице.

 Асимптотически нормальной называется оценка, которая в пределе сходится к нормальному распределению.

Состоятельность и асимптотическая нормальность эмпирических моментов и функций от  эмпирических характеристик.

Теорема. Пусть F₀ – функция распределения генеральной совокупности и g, S_nтаковы, что  , где h – дифференцируема в точке  ,  , то  , где x - н.р.с.в. с параметрами 0 и  .

Распределение хи квадрат. Стьюдента, Фишера и их использование в мат. статистике.

Распределение	Формула плотности	E	s
ГеометрическоеxÎQ	p(x)=q(1-q)x	(1-q)/q	(1-q)/q2
Пуассона xÎQ		x	x
Нормальное xÎR		a	s2
Гамма x>0
Хи квадрат с k степенями свободы х³0
Стьюдента с k степенями свободы xÎR
Фишера х³0