Ответы по начертательной геометрии.

1. Задание и изображение прямой на чертеже. Положение прямой относительно плоскостей проекций.

 Все точки прямой нельзя изобразить на чертеже, так как она бесконечна. Прямую можно задать (изобразить) на чертеже, например, в виде ее отрезка. Рассмотрим ортогональное проецирование отрезка АВ на плоскость П₁. Проецирующие лучи AA₁ и BB₁, проведенные из точек А и В прямой, образуют плоскость S , пересекающуюся с плоскостью проекций П₁. Линия пересечения плоскостей П₁ и S проходит через проекции A₁ и B₁ точек А и В на плоскости проекций П₁. Эта линия и является единственной прямой на плоскости П₁. 

М ежду длинами отрезка АВ и его проекции A₁B₁ имеется зависимость A₁B₁ = АВ × cos j , где j - угол между отрезком и плоскостью проекций. При ( j = 0⁰ отрезок проецируется в натуральную величину ( ½ A₁B₁ ½ = ½ AB ½). При j = 90⁰ отрезок проецируется в точку. В остальных случаях длина проекции отрезка меньше длины самого отрезка. 

 Наглядное изображение проецирования отрезка АВ на две плоскости проекций показано на рис.А, комплексный чертеж - на рис. Б. Точка принадлежит прямой, если соответствующие проекции точки расположены на соответствующих проекциях прямой.

Положение прямых относительно плоскостей проекций     Прямые по их положению относительно плоскостей проекций делят на прямые общего и частного положений:

1)Прямая общего положения  Прямой общего положения называют прямую, не параллельную ни одной из данных плоскостей проекций. Любой отрезок такой прямой проецируется в данной системе плоскостей проекций искаженно. Искаженно проецируются и углы наклона этой прямой к плоскостям проекций. 

2)Прямые частного положения  К прямым частного положения относятся прямые, параллельные одной или двум плоскостям проекций.  Любую линию (прямую или кривую), параллельную плоскости проекций, называют линией уровня. В инженерной графике различают три основные линии уровня: горизонталь, фронталь и профильную линии. 

Г оризонталью называют любую линию, параллельную горизонтальной плоскости проекций (рис.2.З-а). Фронтальная проекция горизонтали всегда перпендикулярна линиям связи. Любой отрезок горизонтали на горизонтальную плоскость проекций проецируется в истинную величину. В истинную величину проецируется на эту плоскость и угол наклона горизонтали (прямой) к фронтальной плоскости проекций. В качестве примера на рис.2.З-а дано наглядное изображение и комплексный чертеж горизонтали h, наклоненной к плоскости П₂ под углом b . 

Ф ронталью называют линию, параллельную фронтальной плоскости проекций (рис.2.3-б). Горизонтальная проекция фронтали всегда перпендикулярна линиям связи. Любой отрезок фронтали на фронтальную плоскость проекций проецируется в истинную величину. В истинную величину проецируется на эту плоскость и угол наклона фронтали (прямой) к горизонтальной плоскости проекций (угол a ). 

Профильной линией называют линию, параллельную профильной плоскости проекций (рис.2.З-в). Горизонтальная и фронтальная проекции профильной линии параллельны линиям связи этих проекций. Любой отрезок профильной линии (прямой) проецируется на профильную плоскость в истинную величину. На эту же плоскость проецируются в истинную величину и углы наклона профильной прямой к плоскостям проекций П₁ и П₂. При задании профильной прямой на комплексном чертеже нужно обязательно указать две точки этой прямой. 

   Прямые уровня, параллельные двум плоскостям проекций, будут перпендикулярны третьей плоскости проекций. Такие прямые называют проецирующими. Различают три основные проецирующие прямые: горизонтально, фронтально и профильно проецирующие прямые. 

 

Фронтально проецирующей Горизонтально проецирующей

прямой (рис. Д) называют  прямой (рис. Г) называют

прямую, перпендикулярную прямую, перпендикулярную плоскости П₂. Любой отрезок плоскости П₁. Любой отрезок

этой прямой проецируется плоскость П₂ без искажения,

на плоскость П₁ без искажения, а на плоскость П₁– в

а на плоскость П₂ - в точку. точку.

Профильно проецирующей прямой (рис.Е) называют прямую, перпендикулярную плоскости П₃, т.е. прямую, параллельную плоскостям проекций П₁ и П₂. Любой отрезок этой прямой проецируется на плоскости П₁ и П₂ без искажения, а на плоскость П₃ - в точку. 

2. Принадлежность точки прямой. Взаимное положение прямых. Конкурирующие точки. Видимость.

Принадлежность точки прямой на комплексном чертеже определяется согласно аксиоме инцидентности, которая устанавливает зависимости и отношения принадлежности между данными элементами евклидова пространства, которая гласит: - если точка B принадлежит прямой a, то проекции точки B` и B" принадлежат одноименным проекциям прямой a` и a" соответственно.

В символической форме эти выражения могут быть записаны B ∈ a ⇒ B` ∈ a` ∧ B" ∈ a"

Задача на принадлежность точки прямой может быть выражена следующим образом: - заключить точку B(B`, B") в; - провести через точку B(B`, B") прямую a общего положения. На эпюре решение данной задачи сводится к проведению через проекции заданной точки одноименных проекций прямой.

Взаимное расположение прямых 

  Прямые в пространстве могут пересекаться, быть взаимно параллельными (пересекаться в бесконечно удаленной точке) и скрещиваться. 

 Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции также пересекаются, причем точки пересечения одноименных проекций таких прямых лежат на одной линии связи.

Если прямые параллельны, то их одноименные проекции также параллельны.

Если прямые скрещиваются, то их одноименные проекции могут пересекаться (рис. А) или на одной проекции пересекаться, а на второй - быть параллельными (рис. Б). В первом случае точки пересечения их одноименных проекций не должны лежать на одной линии связи. Из рис.А видно, что фронтальные проекции B₂ º D₂ являются точкой пересечения фронтальных проекций прямых m и n, а горизонтальные проекции A₁ º C₁ - точкой пересечения горизонтальных проекций этих прямых. Но так как точки пересечения одноименных проекций не лежат на одной линии связи, ни одна из точек A, B, C, D не является общим элементом двух прямых и, следовательно, прямые тип скрещиваются. То же самое можно сказать и относительно прямых а и b (рис.Б). 

Конкурирующие точки

Конкурирующие точки используются для определения видимости геометрических фигур на плоскости проекций. Где видимые объекты отображают сплошной основной линией, не видимые - тонкой пунктирной линией.

Конкурирующие точки - это точки, расположенные на одном проецирующем луче

Видимость

Определение видимости геометрических фигур на плоскости проекций выполняют с использованием конкурирующих точек.

Конкурирующие точки находим в пересечении проекций прямой с проекциями треугольника ABC - это точки 1 и 2 их проекции 1` и 2` на плоскость H совпадают. Строим проекции этих точек на плоскости V из условия, что точка 1 принадлежит прямой n, а точка 2 принадлежит стороне треугольника BC. Сравниваем удаление конкурирующих точек 1 и 2 от горизонтальной плоскости проекций - точка 2 является более удаленной. Из проведенного сравнения делаем вывод о видимости заданных геометрических фигур: точка 2 видима и видима плоскость, а точка 1 невидима и ее участок прямой невидим.

Конкурирующие точки находим в пересечении проекций прямой с проекциями плоскости α - для этого проводим в плоскости произвольную прямую f, чтобы имело место пересечение фронтальных проекций заданной прямой n и прямой f. Это точки 1 и 2 их проекции 1" и 2" на плоскость V совпадают. Строим проекции этих точек на плоскости H из условия, что точка 1 принадлежит прямой n, а точка 2 принадлежит фронтали f плоскости α. Сравниваем удаление конкурирующих точек 1 и 2 от фронтальной плоскости проекций - точка 2 является более удаленной. Из проведенного сравнения делаем вывод о видимости заданных геометрических фигур: точка 2 видима и видима плоскость α, а точка 1 невидима и ее участок прямой невидим.

3. Задание и изображение плоскости на чертеже. Принадлежность прямой плоскости. Главные линии плоскости.

Принадлежность точки прямой

Принадлежность точки прямой на комплексном чертеже определяется согласно аксиоме инцидентности, которая устанавливает зависимости и отношения принадлежности между данными элементами евклидова пространства, которая гласит: - если точка B принадлежит прямой a, то проекции точки B` и B" принадлежат одноименным проекциям прямой a` и a" соответственно.

В символической форме эти выражения могут быть записаны B ∈ a ⇒ B` ∈ a` ∧ B" ∈ a"

Задача на принадлежность точки прямой может быть выражена следующим образом: - заключить точку B(B`, B") в; - провести через точку B(B`, B") прямую a общего положения.

Главные линии плоскости

Среди прямых линий, принадлежащих плоскости, особое значение имеют прямые, занимающие частное положение в пространстве:

1. Горизонтали h - прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций (hΠАВС, h//P₁, h₂//Ох,h₃//Оy)

2.Фронтали f - прямые, расположенные в плоскости и параллельные  фронтальной плоскости проекций (fΠАВС, f//P₂, f₁// Ох, f₃// Оz).

3. Профильные прямые р - прямые, которые находятся в данной плоскости и параллельны профильной плоскости проек ций (рΠАВС, р//P₃,р₁^ Ох, р₂^ Ох).

Следует заметить, что следы плоскости можно отнести тоже к главным линиям. Горизонтальный след -  это горизонталь плоскости, фронтальный  - фронталь и профильный - профильная линия плоскости.

4. Прямые, принадлежащие плоскости и образующие с плоскостью проекций наибольший угол называются линиями наибольшего наклона данной плоскости к плоскости проекций. С помощью линий наибольшего наклона определяют двугранные углы между заданной плоскостью и соответствующей плоскостью проекций.

Прямые плоскости, перпендикулярные соответствующим линиям уровня являются линиями наибольшего наклона.

Линия наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций называется линией ската. Такое название объясняется тем, что эта линия является траекторией, по которой шарик скатывается с данной плоскости. По отношению к плоскостям П₂ и П₃ целесообразнее употреблять название линия наибольшего наклона.

Линия ската и её горизонтальная проекция образуют линейный угол j , которым измеряется двугранный угол, составленный данной плоскостью и горизонтальной плоскостью проекций. Горизонтальная проекция линии ската плоскости общего положения перпендикулярна горизонтальной проекции горизонталь этой плоскости. Фронтальная и профильная проекции ската строятся по её принадлежности плоскости.

4. Положение плоскости относительно плоскостей проекции.

В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Плоскость не перпендикулярная ни одной плоскости проекций называется плоскостью общего положения.  Такая плоскость пересекает все плоскости проекций (имеет три следа: - горизонтальный a_П1; - фронтальный a_П2; - профильный a_П3).

2.Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна заданная плоскость, различают:

2.1. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (a^П₁), называется горизонтально проецирующей плоскостью. Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию, которая одновременно является её горизонтальным следом. Горизонтальные проекции всех точек  этой плоскости  совпадают с горизонтальным следом.

2.2. Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (a^П₂)- фронтально проецирующая плоскость. Фронтальной проекцией плоскости a является прямая линия, совпадающая со следом  a_П2.

2.3. Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости ( a^П₃) - профильно проецирующая плоскость. Частным случаем такой плоскости является биссекторная плоскость.

3. Плоскости, параллельные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются плоскостями уровня. В зависимости от того, какой плоскости параллельна исследуемая плоскость, различают:

3.1. Горизонтальная  плоскость - плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (a//П₁) -  (a^П₂,a^П₃). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П₁ без искажения, а на плоскости П₂ и П₃ в прямые - следы плоскости  a_П2 иa_П3.

3.2.  Фронтальная плоскость - плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (a//П₂), (a^П₁, a^П₃). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П₂ без искажения, а на плоскости П₁ и П₃ в прямы е - следы плоскости  a_П1 иa_П3.

 3.3. Профильная плоскость - плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (a//П₃), (a^П₁, a^П₂). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П₃ без искажения, а на плоскости П₁ и П₂ в прямые - следы плоскости  a_П1 и a_П2.

5. Методы проецирования.

Метод проецирования заключается в том, что любая из точек множества точек пространства может быть спроецирована с помощью проецирующих лучей на любую поверхность. Для этого представим некоторую заданную поверхность (рис.1) и точку А в пространстве. При проведении луча S через точку А в направлении поверхности последний пересечет ее в точке А1. Точку А называют проецируемой точкой. Плоскость α, на которой получают проекцию, называют плоскость проекций. Точка пересечения луча с плоскостью называется проекцией точки А. Прямая АА1 (луч), называется проецирующи м лучом.