5.4. Скорости материальных частиц

Выше сопоставлялись состояния в моменты времени t=0 и t0. Здесь будем сопоставлять состояния в моменты времени t и . Разность параметров одной и той же материальной частицы в эти моменты, отнесенные к интервалу времени dt, называется скоростями этих параметров материальной точки.

В подходе Лагранжа, когда некоторый тензор T, характеризующий материальную частицу, рассматривается как функция ее начальной координаты и времени t ( ), скорость определяется дифференцированием этой функции по второму аргументу:

. (1)

Учтено, что для материальной частицы идентифицирующий ее параметр постоянен (в отличие от текущего положения ) и его скорость равна нулю.

В подходе Эйлера ( ) материальная скорость (скорость изменения значения T для материальной частицы) вычисляется сложнее, так как с течением времени изменяется и и t. Величина относится уже к другой частице!

Таким образом, если в предыдущем параграфе (когда сопоставляли моменты времени t и to) рассмотрение на основе двух подходов было симметричным ( и ), то сейчас симметрии нет. Если , то .

. Если, как и в (1), взять частную производную

, (2)

мы сравниваем между собой значения T в два момента времени t и t+dt в одной и той же точке пространства . Производную называют пространственной, или локальной производной (скоростью). Например, для температурного поля в среде история – запись температуры , снимаемой градусником, помещенным в точку пространства ; – локальная скорость изменения температуры, которую можно получить с помощью такого градусника.

Но значения – это температуры различных частиц, попадающих поочередно в точку . Если нас интересует материальная скорость (скорость изменения тензора, относящегося к одной материальной частице), то нужно сравнивать между собой значения и , причем , где – скорость частицы.

Таким образом, рассматривая координаты в неподвижном декартовом базисе как скалярные параметры (в правомочности такого подхода мы уже убедились):

или

(3)

Здесь – локальная (пространственная) скорость, – конвективная скорость. Конвективная скорость связана с переходом в соседнюю точку поля. Добавим, что переменная (независимая в подходе Эйлера) называется пространственной, а (независимая переменная в подходе Лагранжа) называется материальной.

Чтобы пояснить смысл конвективной скорости, рассмотрим стационарное температурное поле ( ). На рис. 6 показаны две линии уровня и . С течением времени температура не изменяется, но за время dt материальная точка из положения ( ) переходит в ( ). По свойству градиента , откуда – конвективная скорость изменения температуры.

Другой пример применения формулы (3) – вычисление ускорения частицы при заданном поле скоростей частиц . В подходе Лагранжа и

(4)

– скорость одной частицы!

Но в подходе Эйлера ,

(5)

локальное и конвективное составляющие ускорения.

Естественно, для одной и той же частицы получим одно и то же ускорение: частная производная в выражениях (4) и (5) берется от двух разных функций.

Тензор – градиент , входящий в выражение (5), ниже будет играть важную роль; обозначим его, вслед за Л.И.Седовым, Y. Таким образом, .

Сам вектор скорости частицы (см. (3)) представляет скорость изменения положения частицы ; если , то

. (6)

Но в подходе Эйлера для вычисления скорости можно использовать формулу (3), учитывая, что параметр частицы неизменен:

тогда

(7)

(с учетом, что ).