Контрольные вопросы

1. Виды напряженных состояний; главные площадки и главные напряжения.

2.Напряжения по наклонному сечению при линейном напряженном состоянии.

3. Касательные напряжения при напряженном состоянии.

4. Закон парности касательных напряжений.

5. Теории прочности: наибольших нормальных напряжений.

Литература

1. Волков А. Н. Сопротивление материалов. - М.: КолосС, 2004. - 62…65 с.

2. Кривошапко С. Н. Сопротивление материалов: лекции, семинары, расчетно-графические работы. - М.: Издательство Юрайт, 2013. - 27…31 с.

Практическое занятие №7

Тема. Кручение.

Тема практического занятия. Расчет вала на кручение.

Цель. Расчет вала на кручение.

Общие сведения

1. Кручение.

Кручением называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникают только крутящие моменты.

Причиной деформации при кручении является внешний вращающий момент, приложенный в плоскости, перпендикулярной оси бруса.

Для наглядного изображения распределения крутящих моментов вдоль оси бруса строится эпюра крутящих моментов. Крутящий момент в любом поперечном сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных к брусу справа или слева от сечения.

Крутящий момент считается положительным, если при взгляде со стороны сечения результирующий внешний момент, приложенный к рассматриваемой части бруса, будет направлен против часовой стрелки, и наоборот.

Условие прочности бруса при кручении заключается в том, что наибольшее возникающее в нем касательное напряжение не должно превышать допускаемого

где [τ_k ] допускаемое напряжение при кручении, Па;

W_р - момент сопротивления кручению, равный для круглого сечения.

Момент сопротивления кручению.

Деформация при кручении представляет собой поворот поперечного сечения бруса вокруг оси кручения и называется углом закручивания. Требование жесткости к брусу состоит в том, что угол закручивания 1м длины бруса не должен превышать определенной величины. Угол закручивания участка бруса длиной l определяется по формуле

где GJ _p – жесткость сечения при кручении.

2.Пример.

Вал (брус) круглого поперечного сечения (рис.1) нагружен внешними моментами: М₁= 4 кНм; М₂ = 8 кНм; М₃ = 2 кНм.

Построить эпюры крутящих моментов и углов закручивания. Подобрать диаметр вала, если [τ _к ] = 60 МПа, G = 8 ⋅10⁴ МПа, а = 0,4 м

Решение.

Разбиваем вал на три участка (1 – DC, 2 – CB, 3 – BA).

Значения крутящих моментов в сечениях каждого участка находим, используя метод сечений (рассекаем вал и рассматриваем правую часть, отбрасывая левую).

M _к1 = −M₁ = −4 кНм;

M _{к 2} = −M₁ + M ₂ = −4 + 8 = 4 кНм;

M _к3 = −M₁ + M ₂ + M ₃ = −4 + 8 + 2 = 6 кНм.

По найденным значениям строим эпюру крутящих моментов (рисунок 7.1).

Рисунок 7.1 – Эпюра крутящих моментов

Применяем расчетное уравнение на прочность при кручении

где – момент сопротивления кручению для вала круглого поперечного сечения.

Находим требуемый диаметр вала

В соответствии с требованиями ГОСТ следует принять d = 80мм.

Построение эпюры угловых перемещений начинаем от заделки, т.е. от неподвижного сечения, φ _A = 0

Угол поворота сечения В

где -модуль сдвига;

- полярный момент инерции круглого сечения вала.

Угол поворота сечения С равен алгебраической сумме углов поворота сечения В (φ_B ) и сечения С относительно В (φ_CB )

Угол поворота сечения D

Построенная по найденным значениям эпюра угловых перемещений показана на рисунке 7.1.

3. Задание.

Вариант 1. Для вала круглого поперечного сечения, жестко защемленного одним концом, построить эпюры крутящих моментов и углов закручивания, а также из условия прочности подобрать диаметр вала, приняв [τ_к ] = 80 МПа; G = 8 ⋅10⁴ МПа. Данные для самостоятельного решения варианта задания приведены в таблице 7.1 и на рисунке 7.2.

Таблица 7.1 – Исходные данные

№ варианта	Внешние моменты, кНм					Длины участков, м
	М1	М2	М3	М4	a		b	c	d
1	2	3	4	5	6		7	8	9
1	30	25	20	10	0,2		0,3	0,4	0,5
2	20	30	15	–	0,3		0,2	0,25	0,35
3	40	20	10	15	0,4		0,1	0,2	0,3
4	10	15	5	–	0,15		0,25	0,3	0,2
1	2	3	4	5	6		7	8	9
5	12	10	16	5	0,1		0,15	0,35	0,1
6	8	6	4	–	0,6		0,4	0,5	0,15
7	15	7	8	6	0.35		0.1	0.2	0.25
8	9	5	6	–	0,5		0,3	0,3	0,4
9	10	12	14	8	0,25		0,2	0,1	0,3
10	5	4	3	–	0,45		0,5	0,15	0,6
11	7	11	10	–	0,2		0,4	0,5	0,35
12	16	8	12	10	0.3		0,25	0,4	0,2
13	18	14	9	7	0,15		0,35	0,45	0,5
14	35	20	30	–	0,4		0,2	0,3	0,25
15	10	15	20	5	0,7		0,3	0,2	0,1
16	15	12	10	20	0,3		0,4	0,6	0,2
17	13	16	11	10	0,25		0,5	0,3	0,4
18	9	5	7	4	0,35		0,6	0,25	0,1
19	4	6	5	3	0,6		0,45	0,1	0,3
20	2	4	6	–	0,5		0,25	0,35	0,6

Рисунок 7.2 – Исходные данные

Вариант 2.

Для стального вала, нагруженного четырьмя внешними вращающими моментами (рисунок 7. 3), требуется:

1. Построить эпюру крутящего момента.

2. Определить размеры сечения сплошного вала по прочности и жесткости, округлив расчетные значения диаметров до целых миллиметров.

3. Определить размеры вала кольцевого сечения по прочности и жесткости, округлив расчетные значения диаметров до целых миллиметров. При решении задачи принять, что отношение внутреннего диаметра к внешнему диаметру для вала равно α = d/D = 0,8.

4. Сравнить массы валов сплошного и кольцевого сечений, записать вывод.

5. Построить эпюру углов закручивания сплошного вала, приняв за начало отсчета сечение, где приложен момент М₁.

Принять, что материал вала имеет модуль сдвига G = 0,8•10⁵ Мпа и расчетное напряжение на срез [τ] = 40 МПа.

Таблица 7.2 – Исходные данные

№ варианта	М1, кН•м	М2, кН•м	М3, кН•м	М4, кН•м	a, м	b, м	c, м
1	2	3	4	5	6	7	8
0	2,0	3,5	1,5	5,0	0,4	0,5	0,6
1	2,5	4,0	3,5	6,0	0,2	0,1	0,3
2	7,0	3,5	1,0	1,5	0,3	0,2	0,1
3	8,5	2,5	2,0	3,5	0,5	0,4	0,3
4	4,0	2,0	2,5	1,0	0,6	0,8	0,9
5	4,5	3,0	1,5	3,5	0,8	0,9	0,7
1	2	3	4	5	6	7	8
6	5,0	1,5	3,0	4,5	0,7	0,6	0,5
7	5,5	2,5	4,0	5,5	0,9	0,7	0,8
8	6,0	2,0	0,5	7,5	0,1	0,3	0,2
9	6,5	1,0	7,0	2,0	0,9	0,8	0,7

Рисунок 7.3 – Исходные данные