4. Главные напряжения.

Главными называют нормальные напряжения на площадках выделенного элемента с нулевыми касательными напряжениями (рисунок 6.9).

Рисунок 6.9 – Нормальные напряжения

Для любого случая нагружения бруса всегда можно найти такое положение мысленно выделенного в нем элементарного объема, на гранях которого касательные напряжения будут отсутствовать (т.е. τ=0).

Площадки (грани элемента) на которых касательные напряжения равны нулю называются главными.

Таким образом, главные – это нормальные напряжения на главных площадках.

5. Обозначение главных напряжений.

Главные напряжения принято обозначать буквой σ с цифрами 1, 2 и 3 в нижнем индексе (рисунок 6.10).

При этом наибольшее с учетом знака напряжение обозначается как σ₁ а наименьшее соответственно σ₃.

Другими словами, напряжение, расположенное на числовой оси правее других – σ₁, а то, которое левее всех σ₃.

Например, для случая объемного напряженного состояния:

Рисунок 6.10 – Главные напряжения

При плоском напряженном состоянии:

1. Когда оба напряжения растягивающие (рисунок 6.11).

Рисунок 6.11 – Напряжения растягивающие

2. По одной грани напряжение растягивающее, по другой сжимающее (рисунок 6.12).

.

Рисунок 6.12 – Напряжения – растягивающие, сжимающие

3. Оба напряжения сжимающие (рисунок 6.13).

Рисунок 6.13 – Напряжения сжимающие

При линейном НС единственное напряжение всегда обозначается как σ₁.

6. Пример построения круга Мора по главным напряжениям.

Для построения круга потребуются нормальные и касательные напряжения с двух любых взаимно перпендикулярных площадок (например, правой и верхней) при этом ось σ системы направляется вдоль большего (с учетом знака) из нормальных напряжений (рисунок 6.14).

Известны направления и значения нормальных и касательных напряжений.

Рисунок 6.14 – Круг мора

Решение.

Круг Мора строится в плоской системе координат σ-τ (рисунок 6.15).

Начнем с правой площадки элемента. Из центра системы координат отложим вдоль оси σ значение соответствующего нормального напряжения σ_α=80Мпа с учетом его знака.

Рисунок 6.15 – Построение круга Мора

Из конечной точки отрезка отложим вдоль оси τ значение соответствующего касательного напряжения τ_α=40МПа так же с учетом знака (рисунок 6.16).

Рисунок 6.16 – Построение круга Мора

На конце последнего отрезка отметим точку, обозначив ее буквой A (рисунок 6.17).

Рисунок 6.17

Аналогично для верхней площадки элемента (рисунок 6.18).

Рисунок 6.18

Согласно закона парности касательных напряжений, точки A и B всегда будут расположены по разные стороны от оси σ и равноудалены от нее.

Для главных напряжений (при отсутствии касательных) точки A и B останутся на оси нормальных напряжений.

Полученные точки A и B соединяем отрезком (рисунок 6.19).

Рисунок 6.19

На отрезке AB как на диаметре вычерчиваем окружность, с центром в точке пересечения отрезка AB с осью σ системы координат.

Круг Мора построен.

Множество точек полученной окружности показывают величину и знак нормальных и касательных напряжений при соответствующем положении площадок элемента.

Точки пересечения круга Мора с осью σ показывают величину и знаки главных напряжений.

7. Пример. Определение величины и направления главных напряжений по кругу Мора.

Определить величину, знак и направление главных напряжений с помощью круга Мора по заданным нормальным и касательным напряжениям на гранях элемента (рисунок 6.20).

Рисунок 6.20 - Задача

Пример решения

Используем построение круга Мора в пункте 6 решения задачи (рисунок 6.21).

Рисунок 6.21

Как было показано ранее, координаты точек пересечения круга Мора с осью напряжений σ показывают величину главных напряжений.

В данном случае главные напряжения в точке элемента составляют

Для определения направления главных напряжений выполним следующие действия: Из точки A проводим луч влево, а из точки B вниз до пересечения (рисунок 6.22).

Рисунок 6.22

Точка их пересечения обозначается буквой P и является полюсом круга Мора. Очевидно, она будет располагаться на окружности (рисунок 6.23).

Рисунок 6.23

Луч, проведенный из полюса через точку М, показывает направление главного напряжения σ₁.

Так как точка M расположена в области положительных значений σ то пго правилу знаков соответствующее главное напряжение будет растягивающим (стрелка напряжения направляется от площадки) (рисунок 6.24).

Рисунок 6.24

Аналогично, луч [PN) показывает направление главного напряжения на смежной площадке элемента.

Расположение точки N слева от пересечения осей σ-τ указывает на то, что это напряжение сжимающее (стрелка напряжения направлена в сторону площадки).

Покажем полученные напряжения на заданном элементе (рисунок 6.25). Для наглядности, главные площадки изображаются в пределах заданного элемента.

Рисунок 6.25

Здесь видно, что в сечении элемента расположенном под углом φ к начальному, касательные напряжения исчезают, а нормальные изменив величину, становятся главными.

8. Задание.

Элемент конструкции находится под действием сил, создающих напряженное состояние (рисунок 6.25).

Требуется:

1. Определить главные напряжения.

2. Определить направление главных площадок с помощью круга Мора.

3. Определить максимальные касательные напряжения.

4. Записать обобщенный закон Гука и определить линейные отно­сительные деформации и относи­тельное изменение объема.

5. Определить полную удельную поте­нциальную энергию упругой

деформации.

Модуль продольной упругости Е и коэффициент Пуассона μ материала заданы. Исходные данные приведены в таблице 6.1 и рисунке 6.26.

Таблица 6.1 – Исходные данные

№ варианта	σХ, кПа	σУ, кПа	τХ, кПа	Е, МПа	μ
0	1000	500	250	2,0•105	0,25
1	525	225	650	1,1•105	0,23
2	200	100	50	1,4•105	0,24
3	250	400	150	1,6•105	0,26
4	350	270	200	1,8•105	0,27
5	550	450	250	2,2•105	0,30
6	120	80	50	0,25•105	0,17
7	300	-	80	0,26•105	0,18
8	600	200	300	2,1•105	0,28
9	400	-	100	2,2•105	0,29

Рисунок 6.26 – Исходные данные