2.2. Идеализированные пассивные элементы электрической цепи

Сопротивление с качественной стороны может быть определено как идеализированный элемент цепи, в котором электрическая энергия необратимо преобразуется в другие виды энергии (тепловую, механическую, световую и т. д.). Количественно сопротивление определяется как отношение мгновенных значений напряжения и тока:

. (2.1)

Единица измерения сопротивления – ом (Ом). Размерность ома – .

Величину, обратную сопротивлению, называют проводимостью

.

В системе Си проводимость измеряется в сименсах. Размерность сименса – .

Сопротивление как идеализированный элемент электрической цепи характеризуется также зависимостью тока от приложенного к нему напряжения, которую называют вольт-амперной характеристикой. Если вольт-амперная характеристика сопротивления получена при медленных изменениях напряжения и тока, то ее называют статической.

Если вольт-амперная характеристика сопротивления линейна, то его называют линейным. В противном случае сопротивление называют нелинейным. Вольт-амперная характеристика линейного сопротивления имеет вид прямой линии с углом наклона (рис. 2.1). В любой точке вольт-амперной характеристики линейного сопротивления:

,

т. е. сопротивление R не зависит от знака и значения приложенного напряжения. Точку вольт-амперной характеристики, в которой мы определяем значение параметра, называют рабочей точкой.

В общем случае статическая вольт-амперная характеристика сопротивления может быть нелинейна (рис. 2.2). Как видно из рис. 2.2,

,

т. е. в этом случае сопротивление зависит от выбора рабочей точки.

Отметим еще одну особенность нелинейного сопротивления. Пусть кроме постоянного напряжения U₂ к сопротивлению приложено гармоническое напряжение u_~, амплитуда которого значительно меньше U₂. Как видно из рис. 2.2,

,

т. е. сопротивление переменному току не равно сопротивлению постоянному току.

Сопротивление постоянному току, определяемое соотношением (2.1) называют статическим сопротивлением, а сопротивление переменному току, определяемое соотношением

,

называют дифференциальным сопротивлением. Статическое сопротивление всегда положительно, в то время как дифференциальное сопротивление может быть положительно, отрицательно или равно нулю (рис. 2.3).

М гновенная мощность, преобразуемая сопротивлением в другие формы энергии,

.

Электрическая энергия, преобразуется сопротивлением за время Δt = t – t₁,

.

Если i(t) = I = const, то w_R = RI²(t – t₁). Это выражение является математической записью закона Джоуля-Ленца в интегральной форме.

Условное графическое обозначение линейного сопротивления показано на рис. 2.4а, а нелинейного сопротивления – на рис. 2.4б. Допускается поворот условного графического изображения на угол, равный 90°.

Емкость с качественной стороны определяют как идеализированный элемент электрической цепи, обладающий свойством накапливать энергию электрического поля. Емкость как параметр определяется выражением:

, (2.2)

где q ‑ заряд, накопленный в емкости;

u_C ‑ напряжение на зажимах емкости.

В международной системе Си емкость измеряется в фарадах. Размерность фарада ‑ . Зависимость заряда q, накопленного емкостью, от напряжения u_C, называют вольт-кулонной характеристикой. Если вольт-кулонная характеристика емкости линейна, то емкость называют линейной. В противном случае емкость называют нелинейной. Нелинейная емкость характеризуется как статической емкостью, определяемой соотношением (2.2), так и дифференциальной емкостью

.

Найдем зависимость между мгновенными значениями тока и напряжения на зажимах емкости:

.

Но dq = d(Cu_C). Тогда

.

Если емкость линейна, т. е. C ≠ f(u_C), то

. (2.3)

Соотношение (2.3) называют законом Максвелла. Из закона Максвелла следует, что сопротивление емкости постоянному току бесконечно велико.

Найдем зависимость напряжения на емкости от тока. Из (2.3) следует, что напряжение на емкости

,

при этом будем полагать, что при t = ‑ ∞ напряжение на емкости u_C (‑ ∞) = 0.

Если наблюдение процессов в емкости началось в момент времени t₀, то

.

Разбивая последний интеграл на два, получим

.

Но первый интеграл представляет собой напряжение на емкости в момент времени t₀. Тогда

.

Мгновенная мощность в емкости

.

Если знаки напряжения на емкости u_C и производной напряжения на емкости совпадают, то мгновенная мощность p_C положительна. В этом случае энергия поступает в емкость, т. е. она заряжается. Если знаки напряжения на емкости u_C и производной напряжения на емкости не совпадают, то мгновенная мощность p_C отрицательна. Это означает, что емкость отдает энергию в цепь или разряжается.

Найдем энергию, запасенную в емкости в произвольный момент времени t:

.

Энергия, запасенная емкостью, является неотрицательной величиной в любой момент времени t и определяется напряжением на емкости u_C или ее зарядом q.

Условное графическое обозначение линейной емкости показано на рис. 2.5а, а нелинейной емкости – на рис. 2.5б. Допускается поворот условного графического изображения на угол, равный 90°.

Индуктивность как идеализированный элемент электрической цепи с качественной стороны характеризуется способностью запасать энергию магнитного поля. Индуктивность как параметр определяется соотношением

, (2.4)

где i_L – ток через индуктивность;

Ψ – потокосцепление самоиндукции, равное алгебраической сумме магнитных потоков Φ_i, пронизывающих ее отдельные витки:

,

где N – число витков.

Если магнитный поток, пронизывающий витки катушки одинаков, то

.

В системе Си магнитный поток Φ и потокосцепление самоиндукции Ψ измеряют в веберах (Вб), а индуктивность – в генри (Гн). Размерность вебера – [Тл∙м²]. Размерность генри – .

Зависимость потокосцепления самоиндукции Ψ от тока i_L называют ампер-веберной характеристикой. Если ампер-веберная характеристика линейна (индуктивность L не зависит от тока i_L), то такую индуктивность называют линейной. В противном случае индуктивность называют нелинейной.

Нелинейная индуктивность характеризуется статической индуктивностью, определяемой соотношением (2.4), и дифференциальной индуктивностью

.

Условное графическое обозначение индуктивности показано на рис. 2.6. Допускается поворот условного графического изображения на угол, кратный 90°.

В соответствии с законом электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС самоиндукции

.

Если индуктивность линейна, то ЭДС самоиндукции

.

Положительное направление напряжения на индуктивности u_L совпадает с положительным направлением тока i_L и противоположно ЭДС e_L, т. е. u_L = – e_L. Тогда

.

Отсюда следует, что сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю.

Найдем зависимость тока i_L от напряжения u_L, для чего проинтегрируем последнее выражение

.

В момент времени t = t₀

.

Если ток i_L(t₀) известен, то при t > t₀

.

Мгновенная мощность в индуктивности

.

Если знаки тока через индуктивность i_L и производной тока через индуктивность совпадают, то мгновенная мощность p_L положительна. Это означает, что индуктивность потребляет энергию от цепи. Если знаки тока через индуктивность i_L и производной тока через индуктивность не совпадают, то мгновенная мощность p_L отрицательна и индуктивность отдает ранее накопленную энергию в цепь.

Энергия, запасенная в индуктивности в произвольный момент времени t,

.

Энергия, запасенная индуктивностью, является неотрицательной величиной в любой момент времени t и определяется током через индуктивность i_L или потокосцеплением Ψ.

Индуктивность и емкость, способные накапливать энергию, называют энергоемкими или реактивными элементами электрической цепи.