Добавил:

vlacher39 vladymirchervyakov@gmail.com Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сумский государственный университет

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

Дискретный анализ и теория автоматов. Методические указания для самостоятельной работы студента

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.06.2020

Размер:

1.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

4) список інциденцій та ваг дуг графа

ei:		е1		e2			е3		е4	е5	е6	е7
(vi, vk):		(v1, v2)	(v1, v3)				(v2, v4)		(v2, v5)	(v4, v2)	(v3, v4)	(v4, v5)
pi:		12	10				15		12	20	10	15
	5) матриця суміжностей графа
					1	1	0	0
				0	1	1	0	0
				1	0	0	1	1
				1	0	0	1	0
				0	1	1	0	1
				0	1	0	1	0

6) матриця інциденцій графа
	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
v1	−1 −1		0	0	0	0	0
v1	−1 −1		0	0	0	0	0
v2	1	0	−1 −1		1	0	0
v3	0	1	0	0	0	−1	0
v4	0	0	1	0	−1	1	−1
v5	0	0	0	1	0	0	1
v5

7) матриця ваг дуг графа (неінцидентність дузі до вершини позначимо цифрою 0)

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
v1	12	10	0	0	0	0	0
v1	12	10	0	0	0	0	0
v2	12	0	15	12	20	0	0
v3	0	10	0	0	0	10	0
v4	0	0	15	0	20	10	15
v5	0	0	0	12	0	0	15
v5

8) матриця ваг вершин графа

8 12 5 15 10

5) матриця суміжностей графа

0	1	1	0	0
1	0	0	1	1
1	0	0	1	0
0	1	1	0	1
0	1	0	1	0

6) матриця інциденцій графа

v1	−1 −1		0	0	0	0	0
v1	−1 −1		0	0	0	0	0
v2	1	0	−1 −1		1	0	0
v3	0	1	0	0	0	−1	0
v4	0	0	1	0	−1	1	−1
v5	0	0	0	1	0	0	1
v5

7) матриця ваг дуг графа (неінцидентність дузі до вершини позначимо цифрою 0)

				e1	e2	e3	e4	e5		e6	e7
		v1		12	10	0	0	0		0		0
		v1
		v2
		v2		12	0	15	12	20		0		0
		v3		0	10	0	0	0		10		0
		v4		0	0	15	0	20		10		15
		v5		0	0	0	12	0		0		15
		v5					Завдання 3
							Завдання 3
	Неорієнтований реберно зважений граф подано його діаграмою на рис. 1.
				v1		e4		v4		e7			v7
						e4				e7
			e1					e6						e10
						v3		e6		v6
		v0				v3										v9


			e2		e3							e9		e11
			e2			e5				e8				e11
						e5				e8
				v2				v5					v8
						Рисунок 1 – Діаграма графа
	Ваги ребер (в умовних одиницях) наведені в таблиці

ei	e1		e2		e3	e4	e5		e6		e7		e8		e9		e10	e11
pi	7		9		6	4	7		2		6		9		5		3	9

Потрібно виконати наступне:

1)побудувати найкоротший кістяк цього графу, прийнявши за початкову вершину v2;

2)неорієнтований граф перетворити в мережу. Ваги ребер вважати іхньою пропускною здатністю. За витік та стік взяти вершини v4 і v5 відповідно. Орієнтацію ребер, неінцидентних витоку і стоку, вибрати за власним розсудом, щоб отримати саме мережу;

3)визначити пропускну здатність мережі, що побудована у п.2).

Розв’язання

1)найкоротший кістяк графу – це його кістяковий підграф, який є деревом із коренем

упочатковій вершині, з найменшими вагами шляхів від кореня до всіх інших вершин. Кістяк графа (рис. 1) з початковою вершиною v2 наведено на рис. 2.

v3	v2	v0	v1	v4	v7
	v5
	v8
	e9
	v6		v9

Рисунок 2 – Кістяк графа рис. 1

Ваги всіх шляхів від початкової вершини v2 до кінцевих вершин v0, v6, v7, v9 наведені в таблиці

Ланцюг

v2→v3

v2→v0

v2→v1

v2→v4

v2→v7

v2→v5

v2→v8

v2→v6

v2→v9

Вага

e10

e11

2) діаграму мережі подано на рис. 3.

Рисунок 3 – Діаграма мережі

Мережа (рис. 3) містить 2 стоки: v5, що відповідає варіанту задання, і v3, що виявилася висячою під час побудови графу рис. 1;

3) визначимо пропускну здатність мережі, діаграму якої подано на рис. 3. У поданій нижче таблиці наведені приклади розрізів та їхні пропускні здатності (максимальні потоки). Пропускні здатності всіх інших розрізів не менше ніж 9. Таким чином, пропускна здатність мережі (сумарна за двома стоками) дорівнює 9.

Розріз	e7, e6, e4	e10, e9, e1	e10, e9, e2	e11, e9, e1	e11, e9, e2	e8, e5, e3	e10, e6, e4
Пропускна	6+2+4 =12	3+5+7 =15	3+5+9 =17	9+5+7 =13	9+5+9 =24	9+7+6 =22	3+2+4 =9
здатність	6+2+4 =12	3+5+7 =15	3+5+9 =17	9+5+7 =13	9+5+9 =24	9+7+6 =22	3+2+4 =9
здатність

Результат аналізу пропускної здатності мережі перевіримо іншим методом. Пропускна здатність (максимальний потік) нерозгалуженого шляху e7, e10, e11 визначається як мінімальна пропускна здатність цих дуг, тобто вона дорівнює min (6, 3, 9) = 3. Аналогічно пропускні здатності шляхів e6, e9 i e4, e1, e2 дорівнюють, відповідно, min (2, 5) = 2 і min (4, 7, 9) = 4. Це означає, що потік в дузі e8 не може бути більше величини 2 + 3 = 5, в розрізі e5, e3 – 4, а в розрізі e8, e5, e3 – 9. Оскільки максимальний потік у розрізі e8, e5, e3, що дорівнює 9, не більше пропускної здатності цього розрізу, то пропускна здатність мережі (в умовних одиницях) доівнює 9.

3.4 Розділ 4. Скінченні автомати

Завдання 1

Автомат Мура заданий таблицею переходів (табл. 1).

Таблиця 1 – Таблиця переходів автомата Мура

z(t)	z1		z2		z3		z4

w(t), q(t)

w0, q0	q1		q0		q	2	q2


w1, q1	q	2	q3		q	4	q0


w2, q2	q0		q1		q1		q3
w3, q3	q3		q	4	q	4	q0


w4, q4	q	4	q3		q2		q	4

Потрібно виконати наступне:

1)побудувати орграф заданого автомата Мура;

2)побудувати граф-схему алгоритма роботи заданого автомата Мура, взявши стан

q0 за початковий.

Розв’язання

1) орграф автомата Мура, заданий поміченою таблицею 1 переходів, подано на рис. 4.

, z3

z1 , z4

Рисунок 4 – Орграф автомата Мура

2) граф-схему алгоритма роботи автомата Мура, заданого таблицею 1 переходів та орграфом рис. 4, подано на рис. 5. Пояснення:

ідентифікація змінної на вході автомата здійснюється п’ятьма ланцюгами (за кількістю станів автомата), кожний з них містить чотири блоки ідентифікації певних змінних (за обсягом алфавіту входа);

якщо в будь-якому ланцюзі ідентифікації пошук вхідної змінної буде безрезультатним, то автомат повертається у початковий стан (автомат включено в роботу, але оброблення автоматом послідовності змінних у вигляді кортежа ще не розпочато або завершено);

з метою запобігання перетинів ліній зв’язку застосовано їх переривання із мітками вигляду:

Початок

z2 Z3

Кінець

Рисунок 5 – Граф-схема алгоритма роботи автомата Мура

Завдання 2

Автомат Мілі заданий суміщеною таблицею переходів-виходів (табл. 2).

Таблиця 2 – Таблиця переходів-виходів автомата Мілі

z(t)
q(t)	z1	z2	z3	z4

	q3	q2	q0	q2
q0	w4	w1	w4	w4

	q2	q1	q0	q3
q1	w3	w2	w2	w3

	q0	q2	q3	q2
q2	w4	w4	w4	w1

	q0	q3	q2	q1
q3	w2	w3	w3	w2

Потрібно виконати наступне:

1)побудувати орграф заданого автомата Мілі;

2)побудувати граф-схему алгоритма роботи заданого автомата Мілі за умови, що у

початковому стані q0 , коли на вхід не подається жодна змінна zi, i = 1, …, 4, автомат видає вихідний сигнал w0 (очікування прийому кортежа вхідних змінних).

Розв’язання

1)орграф автомата Мілі, заданий таблицею 2 переходів-виходів, подано на рис. 6;

2)граф-схему алгоритма роботи автомата Мілі подано на рис. 7.

Рисунок 6 – Орграф автомата Мілі

Початок

Кінець

Рисунок 7 – Граф-схема алгоритма роботи автомата Мілі

Завдання 3

Автомат Мура заданий поміченою таблицею переходів

z(t)	z1		z2		z3		z4

w(t), q(t)

w0, q0	q3		q0		q	4	q	2


w1, q1	q	4	q3		q2		q	4


w2, q2	q0		q1		q2		q1

w3, q3	q0		q	4	q3		q	4


w4, q4	q0		q3		q1		q2

Потрібно виконати наступне:

1)побудувати орграф заданого автомата Мура;

2)побудувати орграф автомата Мілі, еквівалентного автомату Мура;

3)Визначити реакцію автоматів Мура та Мілі на вхідну послідовність

р (t) = z1 z3 z2 z3 z1 z1 z2 z3,

взявши стан q0 за початковий із сигналом на виході w0.

Розв’язання

1)Орграф автомата Мура, заданий таблицею переходів, подано на рис. 8;

2)Орграф автомата Мілі подано на рис. 9.

3)Визначимо реакцію автоматів Мура та Мілі на вхідну послідовність

р (t) = z1 z3 z2 z4 z3 z1 z1 z2 z4 z3,

взявши стан q0 за початковий.

Реакція автомата Мура на вхідну послідовність р (t)

Вхідне слово р (t)	z1	z3	z2	z4	z3	z1	z1	z2	z4	z3
Послідовність станів q (t)	q0	q3	q3	q4	q2	q2	q0	q3	q4	q2	q2

Вихідне слово w (t)	w0	w3	w3	w4	w2	w2	w0	w3	w4	w2	w2

Реакція автомата Мілі на вхідну послідовність р (t)

Вхідне слово р (t)	z1	z3	z2	z4	z3	z1	z1	z2	z4	z3
Послідовність станів q (t)	q0	q3	q3	q4	q2	q2	q0	q3	q4	q2	q2

Вихідне слово w (t)	w3	w3	w4	w2	w2	w0	w3	w4	w2	w2

Як бачимо, автомати Мура та Мілі еквівалентні, оскільки вони однаково реагують на одне й те саме вхідне слово р (t) = z1 z3 z2 z4 z3 z1 z1 z2 z4 z3 вихідною послідовністю

w (t) = w3 w3 w4 w2 w2 w0 w3 w4 w2 w2.

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
v1	12	10	0	0	0	0	0
v1	12	10	0	0	0	0	0
v2	12	0	15	12	20	0	0
v3	0	10	0	0	0	10	0
v4	0	0	15	0	20	10	15
v5	0	0	0	12	0	0	15
v5

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
v1	12	10	0	0	0	0	0
v1	12	10	0	0	0	0	0
v2	12	0	15	12	20	0	0
v3	0	10	0	0	0	10	0
v4	0	0	15	0	20	10	15
v5	0	0	0	12	0	0	15
v5

	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
v1	12	10	0	0	0	0	0
v1	12	10	0	0	0	0	0
v2	12	0	15	12	20	0	0
v3	0	10	0	0	0	10	0
v4	0	0	15	0	20	10	15
v5	0	0	0	12	0	0	15
v5