Дискретный анализ и теория автоматов. Методические указания для самостоятельной работы студента

f = ( x y ) (x z y ) u.

Відповідь:

3. Замінити контактну схему комбінаційною схемою на логічних елементах у базисі І-Або-Не.

Відповідь:

u

y

Завдання 2

1. Скласти контактну схему за заданими умовами ії роботи. Умови роботи зазначені десятковими номерами 7, 6 і 1 наборів, на яких логічна функція, яку реалізує контактна схема, має значення 1:

f (x1,x2,x3) = f7 (111) = f6 (110) = f1 (001) =1.

Розв’язання

На підставі заданих умов роботи комбінаційної схеми складемо функцію провідності:

11

Функція провідності (1) реалізується контактною схемою, яка являє собою паралельне з’єднання трьох гілок:

Оскільки завжди замкнений один із контактів x3 і x3 у двох верхніх гілках, то схему можемо спростити, замінивши ці гілки однією з умовою її роботи f12 (11) = 1:

Зазначимо, що функцію (2) можна також одержати із (1) методом здійснення операції повного склеювання двох перших доданків за змінною x3.

2. Замінити побудовану контактну схему комбінаційною схемою на логічних елементах у заданому базисі І – Не.

Розв’язання

На виході логічної схеми повинне формуватися значення функції (2), яку перетворимо до заданого базису І – Не за законом де Моргана:

На підставі формули правої частини (3) складемо логічну схему в базисі І – Не:

12

F

&

& &

x1 x2 x3

x3

Завдання 3

Логічну функцію f (x1, x2, x3) задано номерами 2, 3, 7 всіх наборів (x1, x2, x3), на яких

f(x1, x2, x3) = 1, тобто f (010)2 = f (011)3 = f (111)7 = 1. Потрібно виконати наступне.

1)Побудувати таблицю істинності функції f (x1,x2,x3).

2)Подати функцію f (x1, x2, x3) формулами в ДДНФ і ДКНФ.

Розв’язання

1. Таблиця істинності

2. На підставі таблиці істинності складемо формули ЛФ у ДДНФ і ДКНФ:

fДДНФ (x1, x2, x3) = ( x1 x2 x3 ) + ( x1 x2 x3) + (x1 x2 x3)

fДКНФ (x1, x2, x3) = (x1+ x2 + x3 ) · ( x1 + x2 + x3) · (x1+ x2 + x3).

Завдання 4

1. Логічну функцію f (x, y, z) = ( x + y z) · (x + y z) + x z подати в ДДНФ і ДКНФ.

Розв’язання

Формулу будь-якої логічної функції можна перетворити в ДНФ, користуючись правилами перетворення формул та законами алгебри логіки, а потім перетворити її в ДДНФ методом розгортання елементарних кон’юнкцій та видалення дублюючих членів.

Перетворимо формулу функції f в ДНФ:

13

f = ( x + y z) · (x + y z) + x u = x x + x y z + x y z + y y z z + x z = = x y z + x y z + x z = x y z + x z (y + 1) = x y z + x z.

Одержану ДНФ перетворимо у ДДНФ:

fДДНФ = x y z + x z = x y z + x z (y + y ) = x y z + x y z + x y z.

Номери наборів, на яких fДДНФ = 1: (001)1; (101)5; (111)7.

Повна кількість наборів функції f дорівнює 23 = 8. На наборах за номерами (000)0, (010)2, (011)3, (100)4, (110)6 маємо f = 0. Отже, ДКНФ заданої логічної функції має вигляд

fДКНФ = (x + y + z) · (x + y + z) · (x + y + z ) · ( x + y + z) · ( x + y + z).

2. Мінімізуємо в ДНФ функцію fДДНФ = x y z + x y z + x y z за методом Квайна. Перетворюємо ДДНФ логічної функції fДДНФ в СДНФ, базуючись на теоремі Квайна.

Перший та третій доданки функції fДДНФ склеюються за змінною x, тому вони замінюються спільною власною частиною y · z, а конституенти x · y · z і x · y · z склеюються за змінною y, їхньою власною частиною є x z:

x y z + x y z + x y z = y z + x z + x y z + x y z + x y z = y z + x z.

В одержаній формулі всі імпликанти є простими, тому подальше скорочення неможливе. Скорочена ЛФ має вигляд

fСДНФ = x z + y z.

Побудуємо імплікантну таблицю Квайна.

Із таблиці бачимо, що ядро імплікант містить обидві імпліканти x · z і y · z, оскільки

лише однією з них (як власною частиною) покриваються конституенти x · y · z і x · y · z.

Неядерних імплікант немає. У такому разі тупікова ДНФ єдина, вона і буде мінімальною ДНФ функції f (x, y, z):

fМДНФ = x z + y z.

3. Мінімізуємо в КНФ за методом Квайна функцію

fДКНФ = (x + y + z) · (x + y + z) · (x + y + z ) · ( x + y + z) · ( x + y + z).

Перетворюємо ДКНФ логічної функції fДКНФ в СКНФ, базуючись на теоремі Квайна. Перший та другий сумножники функції fДКНФ склеюються за змінною y, тому вони замінюються спільною власною частиною x + z, другий та третій сумножники склеюються за

змінною z і замінюються спільною власною частиною x + y , перший та четвертий сумножники склеюються за змінною x і замінюються спільною власною частиною y + z,

14

другий та п’ятий сумножники склеюються за змінною x і замінюються спільною власною

частиною y + z, четвертий та п’ятий сумножники склеюються за змінною y і замінюються

спільною власною частиною x + z. Після проведення операцій неповного склеювання та поглинання всіх конституент нуля (оскільки вони всі брали участь у склеюваннях) одержимо:

(x + y + z)· (x + y + z)· (x + y + z )· ( x + y + z)· ( x + y + z) = (x + z)· (x + y )· (y + z)· ( y + z)· ( x +z).

Аналізуючи праву частину цієї рівності, бачимо, що можна понизити ранг сумножників завдяки склеюванням першого з п’ятим за змінною x, третього та четвертого за змінною y. Водночас другий сумножник участі в склеюваннях не бере. В результаті одержимо скорочену форму

fСКНФ = (x + y ) · z · z = (x + y ) · z.

Побудуємо імпліцентну таблицю Квайна ‒ Мак-Класкі.

Із таблиці бачимо, що ядро імпліцент містить обидві імпліцеанти (x + y ) і z, оскільки

лише однією з них (як власною частиною) покриваються конституенти (x + y + z), (x + y + z ),

( x + y + z) і ( x + y + z). Неядерних імплікант немає. У такому разі тупікова КНФ єдина, вона і буде мінімальною КНФ функції f (x, y, z):

fМКНФ = (x + y ) · z.

Завдання 5

Логічну функцію f (x1, x2, x3, x4) задано номерами 2, 3, 6, 10, 12, 14 всіх наборів, на яких вона набирає значення1. Потрібно виконати наступне:

1) подати функцію f (x1, x2, x3, x4) формулою в ДДНФ;

2) за методом Вейча – Карно мінімізувати в ДНФ одержану в п. 1) функцію f (x1, x2, x3, x4), з натурними позначеннями змінних у розмітці граней таблиці на універсальній карті Карно.

Розв’язання

1) перетворюючи десяткові номери у двійкові, визначимо ці набори: 1100, 1110, 0110, 0011, 1010, 0010. Оскільки це всі набори, на яких функція f (x1, x2, x3, x4) набуває значення1, то в ДДНФ вона набуває вигляду

f (x1, x2, x3, x4) = x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 ;

2) знайдемо мінімальну ДНФ логічної функції f (x1, x2, x3, x4) з використанням універсальної карти Карно, розміченої за гранями таблиці натурними позначеннями змінних.

15

Як випливає з побудови контурів за єдиним варіантом, тупикова ДНФ також єдина, тому мінімальна ДНФ дорівнює цій тупиковій та має вигляд

FДНФmin (A, B, C, D) = x3 x4 + x1 x2 x4 + x1 x2 x3 .

Завдання 6

Логічну функцію f (x1, x2, x3, x4) задано номерами 1, 4, 9, 11, 14, 15 усіх наборів (x1, x2, x3, x4), на яких вона набуває значення 1. Потрібно виконати наступне:

1) подати функцію f (x1, x2, x3, x4) формулою в ДДНФ;

2) за методом Вейча – Карно мінімізувати в КНФ одержану в п. 1) функцію f (x1, x2, x3, x4), з позначеннями змінних із бази функції в узагальнених кодах під час розмітки граней таблиці на універсальній карті Карно.

Розв’язання

1) перетворюючи десяткові номери у двійкові, визначимо ці набори: 0001, 0100, 1001, 1011, 1110, 1111. Оскільки це всі набори, на яких функція f (x1, x2, x3, x4) приймає значення1, то в ДДНФ вона набуває вигляду:

f (x1, x2, x3, x4) = x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4+x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x4 ;

2) знайдемо мінімальну КНФ логічної функції f (x1, x2, x3, x4) з використанням універсальної карти Карно, розміченої за гранями таблиці парами змінних в узагальнених кодах.

У нашому разі побудова контурів можлива у трьох варіантах, як показано нижче.

Одержано 2 контури з 4 клітинок і 2 контури з 2 клітинок (у наборах контурів виділені спільні значення змінних):

16

Одержано 2 контури з 4 клітинок і 2 контури з 2 клітинок (у наборах контурів виділені спільні значення змінних):

Цим контурам відповідають конституенти нуля, кон’юнктивне сполучення яких являє

Варіант 3

17

Одержані 2 контури з 4 клітинок і 2 контури з 2 клітинок (у наборах контурів виділені спільні значення змінних):

Цим контурам відповідають конституенти нуля, кон’юнктивне сполучення яких являє собою тупикову КНФ:

За мінімальну КНФ слід прийняти функцію (2) з кількістю символів на 1 менше ніж у формулах функцій (1) і (3).

3.3 Розділ 3. Елементи теорії графів

Завдання 1

Граф Gn,m = (V, E) з вершинами v1, v2,…, v5 V і ребрами e1, e2,…, e7 E задано переліком неорієнтованих ребер ei = (vi, vk), а саме:

е1 = (v1, v2); е2 = (v2, v2); е3 = (v2, v3); е4 = (v3, v4); е5 = (v4, v5); е6 = (v5, v1); е7 = (v5, v3);

Потрібне виконати наступне:

1)накреслити діаграму графа та визначити, чи відповідає цей граф кожному з таких означень: скінченний, неорієнтований, орієнтований, змішаний, порожній, тривіальний, нуль-граф, повний, мультиграф, граф Бержа, псевдограф, простий, помічений, зважений;

2)визначити степені всіх вершин графа;

3)скласти список суміжностей вершин графа;

4)скласти список інциденцій ребер графа;

5)скласти матрицю суміжностей графа;

6)скласти матрицю інциденцій графа.

Розв’язання

1) діаграма графа

18

Цей граф не є: орієнтованим, змішаним, порожнім, тривіальним, нуль-графом, повним, простим, зваженим, мультиграфом.

Цей граф є: скінченним, неорієнтованим, графом Бержа, псевдографом, поміченим;

2) степені вершин графа:

deg (v1) = 2; deg (v2) = 4; deg (v3) = 3; deg (v4) = 2; deg (v5) = 3.

6) матриця інциденцій графа

Завдання 2

19