1.6. Гаусса-Крюгердің х, у тікбұрышты координаттар жүйесі

Жазық координаттарды алу үшін эллипсоидтың барлық беті меридиандармен тең шамалы зоналарға: алтыградусты, үшградусты, бөліктерден құралады. Сфералық екібұрыш құрайтын әрбір зона жазықтық болып ашылады. (сурет 6).

Сурет 6.

Әр зонаның бастапқы координаты ретінде остік меридиан зонасымен экватор арасындағы қилысы алынады. Остің оң бағыты χ остік меридианның солтүстік бөлігімен сәйкес келіп, у осінің оң бағыты экватыр қилысының шығыс бағытымен сәйкес келеді.

М нүктеснің жазықтықтағы жағдайы екі қйындымен анықталады ММ₂ = Х_м және ММ1 =Ум.

Әртүрлі зонаға қатысты у ординатасын білу үшін, ордината алдында зоналардың нөмірлері жазылады. Бұл координаттар жүйесі топографиялық жіне инженерлік-геодезиялық жұмыстар үшін негіз болады.

1.7. Координаттар жүйесі арасындағы байланыс.

I.7.I. Меридиан эллипсінің жазықтығындағы жазық х, у координаталары мен b, l геодезиялық координаталар арасындағы байланыс

Математикадан белгілі, функцияның бірінші туындысы иілу бұрышының тангенсі яғни х осі бойымен оң бағытта жанасатын бағыт болып табылады (сурет 7).

Сурет 7

(1)

Эллипстің теңдеуін жазайық

(2)

Және х пен у арқылы дифференциалдайық

(3)

dx/dy теңдеуімен жаза отырып оларды теңестірейік (1), осыдан кейінгі туындылардан алатынымыз

(4)

(5)

Мұнда а – референц-эллипсоидтың үлкен жарты осі;

е² – меридиан эллипстің бірінші эксцентритетінің квадраты

В_м – М нүктесінің геодезиялық ендігі.

(4) және (5) теңдеулер геодезиялық ендік В мен х, у координаттарының меридиан эллипсінің жазықтығындағы байланысын көрсетеді.

1.7.2. Геоцентрлік ендік ф мен геодезиялық ендік в арасындағы байланыс

Сурет 8 көрсетілгендей:

(6)

(7)

(8)

(9)

Сурет 8

(8) теңдеуінен (4) және (5) теңдеулерін ескере келе іздеп отырған шаманың байланысын аламыз

(10)

(Β-ф)″ айырмашылығы үшін келесі туындылардан кейін аламыз

(11)

(В-Φ) ″ максималды шамасы 45° ендікте 11,2' тең болады.

1.7.3. Келтірілген ендік u және геодезиялық ендік в арасындағы байланыс

Сурет 9 алатынымыз:

(12)

(13)

осыдан

(14)

Сурет 9

(14) теңдеуін (.12) теңдеуіне қоя отырып және χ_μ мәнін (4) ауыстыра отырып, ұқсас мүшелерін келтіре отырып және қысқартулардан кейін алатынымыз

(15)

(I5) теңдеуі іздеп отырған шаманың байланыс болып табылады.

(В-U)" айырмасы үшін келесі туындылардан кейін алатынымыз

(16)

(В-U)" шамасының максималды мәні 45° ендікте 5,6' тең болады, сфералық геодезия курсында X, У, Z кеңістіктегі тікбұрышты координаттар жүйесі қолданылмағандықтан басқа жүйелермен қарастырылмайды.

1.8. Қисықтықтың басты радиустары

Эллипсойд бетіндегі кез келген нүктесіндегі қисық тұрақты емес, сол себепті әр нүктеде көп шамалы жазықтықта қисықтар радиусын алуға болады. Эллипсоидтың кез келген нүктесінде екі өзара перпендикуляр нүкте болады, олар үшін қисықтар радиусы экстималды болып саналады. Мұндай бағыттар үшін меридиан бағыты қисық радиусының минималымен және бірінші ввертикалдың бағыты қисық радиусының максималына тең болады. Қисықтың барлық жеке радиустары осы экстремал радиустар арасында орналасқан. Меридиандық қилыстың қисық радиусы мен бірінші вертикалдың қилысы қисықтың басты радиусы деп аталады.

Қисықтың кезкелген жазықтығында қисықтың радиусы төмендегі формуламен анықталады:

(17)

(17) теңдеуін меридиан эллипсіне қолдана отырып (2) теңдеуімен, дифференциалдағаннан кейін және сәйкесінше туындылардан кейін алатынымыз:

(18)

N шамасының мәнін анықтау үшін келесі теореманы қолданамыз: егер эллипсоидтың екі нүктесінде екі қилысу кездесетін болса, онда екеуіне ортақ жанасатын сызықтың біреуіне тігінен, ал екіншісіне иілген болса, қисықтың радиусы қарапайым қима шамасына тең болады, яғни қиынды арасындағы косинус бұрышына тең болады,

Сурет 10

Осы жағдайда (Сурет 10) қараймыз:

(19)

Мұнда z- параллел радиусы;

N- бірінші вертикалдың қисығы;

В- геодезиялық ендік;

Суреттегіден (10) шығатыны

(20)

(19) бен (20) формулаларынан алатынымыз

(21)

Қисықтың орташа радиусы эллипсоидтың бірілген нүктесінде төмендегі формуламен анықталады:

(22)

Ал қисықтың радиусының қимасы А туынды азимутының қимасымен анықталады.

(23)

№1 Референц-эллипсоиданың бетін қолдана отырып, әртүрлі геодезиялық есептерді шешу

Берілген нүктедегі эллипсоид бетінің басты қисық радиусының координаттар жүйесі арасындағы байланыс.

Геодезиялық ендігі B=53°54'30" + 10"·n болатын нүкте үшін есептеу қажет:

1 . формула бойынша тікбұрышты координатты х у меридиан эллипсінің жазықтығында:

2. Ф геоцентрлік ендікті төмендегі формуламен:

`

3. U келтірілген ендікті төмендегі формуламен:

4. меридиан эллипсінің қисық радиусы Μ төмендегі формуламен:

5. бірінші вертикал қиманың радиусын N төмендегі формуламен:

6. қисықтың орташа радиусы R төмендегі формуламен:

7. азимутпен қилысқан қисықтың радиусын А = Ι24°36 45" + 30"·n

8. 5" ендікті өлшеу кезінде қисықтың радиусының өсімшесін М дифференциал арқылы анықтау керек.

ҮЛГІ

Ғимараттарды есептеу мен өңдеу (нөлдік нұсқа)

Бастапқы берілгендер: a= 6378245.Ом

е² =0,0066934216

ρ- 206264,81" -

B= 53°54'30"

I. тікбұрышты координаттарды анықтау х, у.

cosB a cosB	0.5890788 3757289.10
sin B sin2B e2sin2B 1-e2sin2B	0.8080755 0.60529861 0.0047069 0.99562931 0.9978122
x	3765527.10

1-e2 a (1-e2)	0.9933065784 6335552.72 0.9978122
y	5130829.70

2. геоцентрлік ендікті есептеу

tgB (1-e2)	1.3713613 0.9933066
tg ф ф	1.3625795 53043'29.9"

E2/2 p" 2B sin2B	0,00334671 206264.81 107049'00" 0.9520404
(B-ф)" ф	657.20"=10'57.20'' 53043'32.80''

3. келтірілген ендікті есептеу

1-e2 tgB	0.9966476 1.3717613
tgU U	1.3671627 53049'00.12''

2. меридианның қисық радиусын есептеу.

а(1-е2 )	6335552.20 0,9978122 0.9934509
M	6377317.50 м

3. бірінші вертикал радиус қисығын есептеу.

α	6378245.0 0.9978Ι22
N	6392229.90 м

6. қисықтың орташа радиусын есептеу,

√M √N	2525,3351 2528,2859
R	6384769.10

7. азимутпен қилысқан қисықтың радиусын есептеу

А = 124°36'45"

cos A cos2A Ncos2A	- 0.5680233 0.3226504 2062456.00
Sin A Sin2M MSin2A	0.8230Ι24 0.6773495 4319672.90
pA	6387410.60 м

8. М нүктесін β сәйкес есептеп шығарып бастапқы мәндеріне қою үшін (.18) формуласын дифференциалдау қажет.

(B-U)''	328.60''=5'28.60''
U	53049'01.40''