Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ АКАДЕМИКА И.Г. ПЕТРОВСКОГО»

(БГУ)

Естественно-научный институт

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Реферат

«Операторные группы»

Выполнила:

магистрантка 1курса 2 группы

направления 01.04.01 «Математика»

Корочкина Г.О.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Сорокина М.М.

Брянск – 2016 г.

Содержание

Введение 2

Глава 1. Предварительные сведения 4

1.1. Определения и обозначения, используемые в работе 4

1.2. Используемые результаты 6

Глава 2. Операторные группы 9

2.1. Основные понятия, связанные с операторными группами 9

2.2. Централизаторы и нормализаторы секций конечной группы 11

2.3. Основные свойства операторных групп 13

Заключение 17

Список литературы 18

Введение

Математика играет огромную роль в нашем обществе. Одной из областей математики является теория групп. Большая и длительная работа математиков была необходима для создания этой теории.

Данная теория начала свое развитие благодаря трем составляющим: теории уравнений, теории чисел и геометрии. Создателем теории групп является французский математик Эварист Галуа. Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии и эквивалентности геометрических объектов, которое использовал в своей теории Э. Галуа. Данное описание дало начало понятию группы. Почти все структуры общей алгебры  частные случаи групп.

Первыми математиками, которые оценили важность теории групп, стали Артур Кэли и Огюстен Луи Коши. Современное определение понятия «группа» было дано в 1882 году Вальтером фон Дюком.  Ощутимый вклад в теорию групп внесли такие математики, как Артин, Э. Нётер, Л. Силов, О.Ю. Шмидт, А.Г. Курош, С.А. Чунихин, С.Н. Черников и многие другие.

В настоящее время теория групп представляет собой хорошо развитую область математики. Каждый год проходят международные конференции, посвященные теории конечных и бесконечных групп. Хорошо развитые научные школы, занимающиеся теорией групп, функционируют в Москве, Санкт-Петербурге, Екатеринбурге, Новосибирске, Омске, Томске, Иркутске, Челябинске, Красноярске и других городах России.

Данная работа посвящена операторным группам, которые занимают важное место в современной теории конечных групп.

Реферат состоит из введения, двух глав, списка используемой литературы и заключения. В главе 1 приводятся некоторые предварительные сведения, используемые в работе. Основное содержание реферата представлено в главе 2. В ней изучаются основные примеры и свойства операторных групп.

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Определения и обозначения, используемые в работе

Определение 1.1.1. Непустое множество G с определенной на ней бинарной алгебраической операцией называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

1. ассоциативность операции на G;

2. 

3. .

Определение 1.1.2. Группа называется абелевой, если операция коммутативна на , т.е. .

Определение 1.1.3. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G и обозначается , если является группой относительно той же операции, что и группа G.

Определение 1.1.4. Подгруппа группы называется нормальной подгруппой и обозначается , если выполняется такое равенство .

Определение 1.1.5. Подгруппа группы называется нормальной, если .

Определение 1.1.6. Правым смежным классом группы 𝐺 по подгруппе 𝐻 с представителем называется множество . Аналогично определяется левый смежный класс группы 𝐺 по подгруппе 𝐻 с представителем .

Определение 1.1.7. Произведением подгрупп 𝐻 и 𝐾 группы G называется множество .

Определение 1.1.8. Нормальная подгруппа группы G называется минимальной и обозначается если или .

Определение 1.1.9. Пусть группа, , – группа.

1. Нормализатором подмножества в группе G называется множество всех элементов группы G, перестановочных с H в целом и обозначается , т.е.

2. Централизатором подмножества H в группе G называется множество всех элементов группы G, перестановочных с H поэлементно и обозначается , т.е.

Определение 1.1.10. Отображение группы в группу называется гомоморфным отображением или гомоморфизмом, если .

Определение 1.1.11. 1) Инъективный гомоморфизм в называется мономорфизмом

2) Биективный гомоморфизм на называется автоморфизмом.

3) Гомоморфизм в называется эндоморфизмом.

Обозначение 1.1.1. 1) – множество всех автоморфизмом группы

2) – множество всех эндоморфизмов группы .

Определение 1.1.12. Пусть G – группа, – отображение, заданное по правилу: , где Тогда .

Определение 1.1.13. Центром группы называется множество всех центральных элементов группы и обозначается , т.е.

Определение 1.1.14. Пусть – группа, Подгруппа группы называется А-допустимой, если .

Определение 1.1.15. Подгруппа Н группы называется характеристической и обозначается если .

Определение 1.1.16. 1) Ряд (цепь) группы называется нормальным рядом (цепью), если .

2) Ряд (цепь) группы называется субнормальным рядом (цепью), если .

Определение 1.1.17. Подгруппа Н группы называется субнормальной подгруппой и обозначается , если является членом некоторого субнормального ряда группы G, т.е. если в G существует субнормальная -цепь.

Определение 1.1.18. 1) Нормальный ряд группы G без повторений членов называется главным рядом группы G, если он не допускает дальнейшего уплотнения нормальными подгруппами, т.е. .

2) Субнормальный ряд группы G без повторений членов называется композиционным рядом группы G, если он не допускает дальнейшего уплотнения субнормальными подгруппами, т.е. .

3) Фактор главного (композиционного ряда) называется главным (композиционным) фактором.

Определение 1.1.19. Группа G называется полупрямым произведением своих подгрупп А и В и обозначатся G=А В, если выполняются условия:

1. ;

2. ;

3. .