191

Розділ 12

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ІГОР. МАТРИЧНІ ІГРОВІ ЗАДАЧІ

12.1. Постановка задачі

Загальний метод знаходження оптимального розв’язку матричної ігрової задачі з нульовою сумою полягає в побудові відповідної моделі лінійного програмування і її розв’язування, наприклад, симплексним методом.

Наведемо приклад економічної задачі, яка описується ігровою моделлю і яку можливо звести до задачі лінійного програмування.

Підприємство має q поточних ліній, кожна з яких може виготовляти тільки один вироб з загальної номенклатури п виробів, які випускає підприємство . План виробництва за місяць складає виробів.

Попит (у відносних одиницях) по кожному i-му виробу для кожного j-го району споживання протягом місяця задано у вигляді матриці .

Встановити такі q видів виробів та оптимальні пропорції обсягів їх випуску, які повинно виробляти підприємство, щоб максимально задовольнити попит споживачів і виконати заданий план виробництва підприємства.

Зробимо спробу подати таку задачу як ігрову і використати апарат лінійного програмування.

Означену задачу представимо ігровою моделлю у матричній формі для двох сторін: перша сторона прагне досягнути найбільш вигідне виробництво (з точки зору збуту своїх виробів), друга – одержати необхідну кількість виробів згідно з попитом. Підприємство не може одночасно випускати усі види виробів, тому йому треба з всієї номенклатури п вибрати q видів виробів таким чином, щоб максимально задовольнити попит споживачів.

По заданій матриці попиту така ігрова ситуація зводиться до наступної лінійної моделі:

,

,

де x_i – кількість виробів і –го виду.

За допомогою цієї моделі знаходяться ймовірності виробництва кожного виробу, як

,

де .

Цим самим знаходиться змішана стратегія підприємства по виробництву виробів у вигляді .

По одержаним величинам ймовірностей чистих стратегій проводять аналіз найбільш вигідних q видів виробів і складають ігрову матрицю меншого розміру. По цій матриці проводиться наступна імітація задачі з встановленням нової змішаної стратегії, а потім знаходять обсяги виробництва кожного і–го виду виробу по одержаним співвідношенням.

12.2. Послідовність проведення розв’язування задачі

Знаходження розв’язку задачі виконується за таким алгоритмом:

1. Складання математичної моделі задачі лінійного програмування, використовуючи задану матрицю .

2. Підготовка вхідних даних та розв’язування одержаної математичної моделі симплексним методом на ПЕОМ.

3. Знаходження величини для кожного і–го виробу та складання змішаної стратегії для вихідної матриці .

4. Вибір q виробів з п згідно з одержаними значеннями .

5. Складання зменшеної матриці .

6. Виконання пунктів 12.2.1. – 12.2.3. для зменшеної матриці попиту.

7. Знаходження відношення випуску q виробів по значенням змішаної стратегії для зменшеної матриці.

8. Розрахунок обсягів виробництва по кожному і–му виробу з урахуванням виконання планів виробництва в цілому по підприємству.