3. Сводка и группировка данных статистического наблюдения. Определение средних величин и показателей вариации

1. Произведем группировку с равными интервалами.

Определим число групп математическим путем с использованием формулы Стерджесса:

n = 1+3,322 lg N = 1+3,322 lg 50 = 6,644 = 7

где n – число групп; N – число единиц совокупности.

Определим величину интервала в случае группировки с равными интервалами:

h = ;

где Х_max, Х_min – максимальное и минимальное значение признака в совокупности; n – число групп.

Частота — количество элементов совокупности, которые имеют данное значение признака.

Частость — отношение частоты к общему количеству исследуемых элементов, т.е. объему совокупности.

Результаты группировки представлены в таблице № 2.

Таблица № 2

Результаты группировки

№ группы	№ опыта	Пористость, %	№ опыта	Пористость, %	Частота повторения	Накопленная частота	Среднее значение интервала	Частости, %
1 15,06 – 16,07	9	15,42	38	15,76	7	7	15,565	14
	19	16,02	42	15,06
	27	15,06	47	16,05
	35	15,89
2 16,08 – 17,09	7	16,78	31	16,16	9	16	16,585	18
	11	17,01	37	16,13
	12	16,88	40	16,97
	25	17,06	49	16,56
	28	17,03
3 17,10 – 18,11	1	17,35	4	17,65	8	24	17,605	16
	2	17,84	5	18,02
	21	17,12	6	17,34
	36	17,46	15	18,06
4 18,12 –19,13	13	19,01	32	18,79	7	31	18,625	14
	22	18,61	33	19,01
	29	18,19	34	18,72
	39	18,46
5 19,14 –20,15	3	19,62	30	20	7	38	19,645	14
	8	19,14	41	19,68
	17	19,76	44	19,48
	23	19,45
6 20,16 –21,17	14	20,74	46	20,38	6	44	20,665	12
	18	20,44	48	20,68
	43	20,16	50	20,19
7 21,18 –22,19	16	21,24	16	21,24	6	50	21,685	12
	24	21,89	24	21,89
	26	22,14	26	22,14

Построим гистограмму (рис. 1) и кумуляту (рис. 2), огиву (рис. 3) распределения.

Гистограмма, это способ представления статистических данных в графическом виде – в виде столбчатой диаграммы. Она отображает распределение отдельных измерений параметров изделия или процесса.

Рис. 1. Гистограмма частот

Кумулята — ломаная кривая, строящаяся на основе прямоугольной системы координат, когда по оси X откладываются значения признака, а по оси Y — накопленные частоты.

Рис. 2. Кумулята

Рис. 3. Огива

2. Рассчитаем среднее значение исследуемого показателя, моду, медиану полученного ряда распределения.

Для данных, представленных в виде интервального ряда распределения, среднее значение показателя рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:

где X_i – срединное значение интервала; ƒi – частота интервала.

Рассчитаем моду интервального вариационного ряда.

Модальный интервал — это интервал, который имеет наибольшую частоту.

Модальный интервал – 2 группа: 16,08 – 17,09.

%,

где Х_мо - нижняя граница модального интервала; i_мо – величина модального интервала; f_мо – частота модального интервала; f_мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному; f_мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Рассчитаем медиану интервального вариационного ряда.

Медианный интервал — это интервал, в котором сумма накопленных частот составляет половину или больше половины всей суммы частот ряда. Медианный интервал – 4 группа: 18,12 –19,13.

,

где Х_ме – нижняя граница значения интервала, содержащего медиану; i_ме – величина медианного интервала; Σf – сумма частот ряда распределения; S_ме-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу; ƒ_ме – частота медианного интервала.

3. Охарактеризуем вариацию изучаемого признака с помощью абсолютных, средних и относительных показателей вариации.

Размах вариации (R)

R = X_max – X_min = 22,14 – 15,06 = 7,08 %,

где X_max – наибольшее значение варьирующего признака; X_min – наименьшее значение признака.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю величину из отклонений вариантов признака от их средней.

,

где n – число единиц наблюдения; f_i – частота интервала; x`_i – среднее значение в интервале вариационного ряда; - общая средняя ряда

Дисперсия - представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальный значений признака от их средней величины.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от из средней:

Коэффициент осцилляции

характеризует отклонение крайних значений признака от среднего значения.

Относительное линейное отклонение

характеризует отклонение среднего линейного отклонения от средней.

Коэффициент вариации

Так как V<33 %, то статистическая совокупность является однородной, т.е. средняя объективна.

4. Выяснение общего характера распределения предполагает не только оценку степени его однородности, но и оценку его симметричности, остро- или плосковершинности. Симметричным называется распределение, в котором частоты любых двух вариант, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения равны между собой. В статистике для характеристики асимметрии пользуются следующими показателями.

Коэффициент асимметрии

A_S = ,

где - средняя арифметическая ряда распределения; М₀ – мода; - среднее квадратическое отклонение.

Так как A_S > 0, то больше моды, т.е. имеется правосторонняя асимметрия.

Для симметричных распределений может быть рассчитан коэффициент эксцесса, который показывает, насколько резкий скачок имеет изучаемое явление. Если коэффициент эксцесса больше нуля, то распределение островершинное и скачок считается значительным, если коэффициент эксцесса меньше нуля, то распределение считается плосковершинным и скачок считается незначительным.

Коэффициент эксцесса

Е_К =

Где М₄ – четвертая величина центрального момента