6.2. Какие колебания называются периодическими и являются ли затухающие колебания периодическими?

Колебания являются периодическими, если колебательный процесс, каким бы сложным он ни был, повторяется через определенный интервал времени. В колебательном контуре происходят периодические изменения заряда q, силы тока I и напряжения U.

Затухающие колебания являются непериодическими, так как максимальное значение колеблющейся величины U₁, достигаемое в некоторый момент времени t₁, в последующем (при t > t₁) никогда не повториться. Однако при затухающих колебаниях колеблющаяся величина обращается в нуль, достигает максимальных и минимальных значений через равные промежутки времени.

6.3. С помощью какой системы можно получить свободные электромагнитные колебания?

Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используют колебательный контур, который представляет собой замкнутую цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора емкостью C, катушки индуктивности L и омического сопротивления R. Причем омическое сопротивление включает в себя сопротивление соединенных проводов, сопротивление провода катушки индуктивности и сопротивление включенного в контур резистора.

6.4. Изменение каких физических величин осуществляется в контуре по колебательному закону?

Напряжение на обкладках конденсатора изменяется по колебательному закону: U = U₀ e^-δt cos(ωt+φ).Также, по колебательному закону изменяются заряд, ток, мощность, энергия.

6.5. Как возникают в контуре электромагнитные колебания?

В начальный момент конденсатор ёмкостью C заряжается до напряжения U. Энергия, запасённая в конденсаторе, составляет W_c = CU²/2. При соединении конденсатора с катушкой в цепи потечёт ток I, что вызовет в катушке индуктивности электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции, направленную на уменьшение тока в цепи. Ток, вызванный этой ЭДС (при отсутствии потерь в индуктивности) в начальный момент будет равен току разряда конденсатора, то есть результирующий ток будет равен нулю. Магнитная энергия катушки в этот (начальный) момент равна нулю. Затем результирующий ток в цепи будет возрастать, а энергия из конденсатора будет переходить в катушку до полного разряда конденсатора. В этот момент электрическая энергия колебательного контура E_C = 0. Магнитная же энергия, сосредоточенная в катушке, напротив, максимальна и равна W_L = LI²/2, где L -индуктивность катушки, I - максимальное значение тока. После этого начнётся перезарядка конденсатора, то есть заряд конденсатора напряжением другой полярности. Перезарядка будет проходить до тех пор, пока магнитная энергия катушки не перейдёт в электрическую энергию конденсатора. Конденсатор, в этом случае, снова будет заряжен до напряжения − U. В результате в цепи возникают колебания, длительность которых будет обратно пропорциональна потерям энергии в контуре.

6.6. Чем обусловлено затухание колебаний в контуре?

Взаимное превращение энергии электрического и магнитного полей в контуре сопровождаются потерями энергии на нагревание проводников. И если энергия не пополняется извне, то колебания в контуре затухают – амплитуда тока каждого последующего колебания меньше амплитуды предыдущего колебания. Чем больше омическое сопротивление контура, тем быстрее затухают колебания в нем.

6.7. Какими параметрами контура определяется частота собственных незатухающих колебаний и частота собственных затухающих колебаний? Как соотносятся между собой эти частоты?

- частота собственных колебаний, т.е. определяется электроемкостью C и индуктивностью L колебательного контура.

- частота затухающих колебаний, где ω₀- частота собственных колебаний контура, δ =R/2L - коэффициент затухания. Определяется омическим сопротивлением R и индуктивностью L колебательного контура.

6.8. Какая характеристика является количественной характеристикой убывания амплитуды затухающих колебаний? Какими параметрами контура она определяется?

Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний пользуются понятием логарифмического декремента. Логарифмический декремент затухания показывает в логарифмических единицах, во сколько раз убывает амплитуда колебаний за один период. Это безразмерная величина, равная натуральному логарифму отношений значений амплитуд двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающихся на период.

.

частота ω определяется параметрами контура (R, L, C), следовательно логарифмический декремент является характеристикой контура, т.к. его величина определяется только параметрами контура.

6.9. Что характеризует коэффициент затухания и как он определяется в данной работе?

В данной работе коэффициент затухания δ определяется как угловой коэффициент прямой линеаризованной зависимости.

Коэффициент затухания δ = 1/τ - величина, обратная промежутку времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

6.10. Как влияет коэффициент затухания на (условный) период затухающих колебаний в контуре?

Условный период затухающих колебаний контура

где ω₀- частота собственных колебаний контура,

δ –коэффициент затухания.

Следовательно, увеличение коэффициента затухания приведет к увеличению условного периода затухающих колебаний.

6.11. По какому закону изменяется со временем амплитуда затухающих колебаний? Каким образом подтверждается справедливость этого закона?

Амплитуда затухающих колебаний изменяется со временем по экспоненциальному закону:

По экспериментальным данным, строится линеаризованный график зависимости ln(U₀/U) = δT. Если точки в этой зависимости укладываются на прямую (в пределах их погрешностей), то тем самым подтверждается правильность вывода о экспоненциальном уменьшении амплитуды напряжения со временем.

6.12. Что называется временем релаксации?

Промежуток времени τ , в течении которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз, называется временем релаксации. Время релаксации - величина обратная коэффициенту затухания δ = 1/τ .

6.13. На какие характеристики колебаний и как влияет величина активного сопротивления колебательного контура?

Увеличение активного сопротивления в колебательном контуре приведет к увеличению коэффициента затухания δ, частоты свободных колебаний ω; и уменьшению амплитуды свободных затухающих колебаний A, периода затухающих колебаний T.

6.14. К изменению каких характеристик колебаний и колебательного контура приведет изменение индуктивности контура?

Изменение индуктивности в цепи приведет к изменению коэффициента затухания, частоты собственных колебаний контура, амплитуды затухающих колебаний, периода затухающих колебаний, логарифмического декремента и добротности контура.

6.15. Какое условие необходимо выполнить при подборе элементов (R, L, C) электрического колебательного контура, чтобы изменение напряжения на конденсаторе осуществлялось по колебательному закону?

Сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называется критическим R_кр и определяется из условия ω₀=δ ,

при всех значениях омического сопротивления контура

R < R_кр - процесс колебательный.

6.16. Добротность колебательной системы, как она определяется?

Колебательный контур также характеризуют добротностью, безразмерной величиной Q, пропорциональная отношению энергии W(t) колебаний контура в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за интервал времени равный периоду:

энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды колебаний , то

.

При слабом затухании () ,

В случае слабого затухания, когда , величина добротности определяется параметрами колебательного контура и равна:

6.17. Как нужно изменить параметры контура, чтобы при однократной зарядке конденсатора, его разрядка осуществлялась по апериодическому закону?

При выполнении соотношения R > R_кр = 2(L/C)^0,5 – процесс в контуре будет апериодическим.

6.18. Как изменяются логарифмический декремент затухания и добротность контура, если известно, что при изменении параметров контура (R, L, C) число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в е раз, увеличилось на десять колебаний?

Пусть логарифмический декремент затухания Θ₁, добротность контура Q₁ –значения до изменения параметров контура (R, L, C) при этом число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в е раз равно N₁.

После изменения параметров контура (R, L, C) эти величины равны соответственно Θ₂, Q₂ и N₂ = N₁ +10.

Θ₁ = 1/N₁ → N₁= 1/Q₁ :

тогда:

логарифмический декремент затухания будет определяться соотношением

Добротность контура Q₂ ≈ π/Θ₂ ≈ πN₂ = π(N₁+10) = Q₁ + π10

6.19. Выполняется ли в реальном колебательном контуре закон сохранения электромагнитной энергии?

Да. Взаимное превращение энергии электрического и магнитных полей сопровождается потерями энергии на нагревание проводников.

6.20. Почему при выводе основного уравнения свободных затухающих колебаний в контуре, где протекают переменные токи, используют закон Ома и правила Кирхгофа, полученные для постоянного тока?

Закон Ома и правила Кирхгофа справедливы для цепей постоянного и квазипостоянного тока. В цепи контура протекает переменный ток, но, учитывая, что размеры контура не велики, можно считать, что мгновенное значение тока будет практически одинаково во всех точках контура. Токи, удовлетворяющие такому условию, называются квазистационарными.

6.21. Вывести основное уравнение свободных затухающих колебаний в электрическом колебательном контуре.

Рис.3.1 Колебательный контур

Согласно второму правилу Кирхгофа для RLC-контура, в котором протекают квазистационарные токи, можно записать

U_L + U_R + U_C = 0 ; (6.1)

где U_L – падение напряжения на индуктивности, U_С – падение напряжения на емкости, U_R – падение напряжения на резисторе, или

. (6.2)

Учитывая, что , и разделив (6.2) на L, получим следующее уравнение

. (6.3)

Так как величина заряда на обкладках конденсатора пропорциональна разности потенциалов на них (q=CU), то уравнение, описывающее изменение напряжения на конденсаторе, будет аналогично предыдущему уравнению, т.е.

. (6.4)

Введя обозначения , , получим

, (6.5)

где δ - коэффициент затухания, ω₀² - частота собственных незатухающих колебаний контура. Уравнение (6.5) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами и описывает свободные затухающие колебания.