Введение

Курс «Теория математической обработки геодезических измерений» состоит из двух частей:

I-я часть — теория ошибок измерений;

2-я часть – метод наименьших квадратов (изучается на третьем курсе).

Изучение курса завершается сдачей зачёта на втором курсе и экзамена - на третьем.

Настоящее методическое учебное пособие написано с таким расчётом, чтобы студент, проработав теоретический материал, изложенный в нем, смог самостоятельно выполнить индивидуальные задания контрольной работы  №1 и подготовиться к зачёту.

Современное изложение курса «Теория ошибок измерений» ведется на основе положений теории вероятностей с использованием методов математической статистики.

Полный курс «Теории вероятностей» читается на 2-м курсе для студентов всех специальностей преподавателями кафедры высшей математики.

Для изучения курса «Теория ошибок измерений», который читается также для студентов 2-го курса, необходимо знание следующих основных понятий теории вероятностей : законы распределения вероятностей и основные параметры случайных величин, и др.

Поэтому глава 1 настоящего пособия посвящена нормальному закону распределения вероятностей и его значению для «Теории ошибок измерений».

Решение основных задач «Теории ошибок измерений» требует от студентов умения применять методы математической статистики.

Поэтому в главе 2-й пособия приводятся необходимые сведения из математической статистики.

В главе 3-й подробно излагаются следующие вопросы :

основные понятия и задачи теории ошибок измерений ; критерии точности измерений ; оценка точности функций общего вида коррелированно и некоррелированно измеренных аргументов ; математическая обработка результатов многократных равноточных и неравноточных измерений одной величины ; оценка точности по разностям двойных измерений.

1. Нормальный закон распределения

Результаты измерений неизбежно сопровождаются случайными ошибками измерений, подчиняющимися, как правило, нормальному закону распределения вероятностей.

1.1 Нормальный закон и его основные параметры

Случайная величина X с плотностью распределения вида

(1.1)

и графиком плотности, представленным на рис. 1.1, считается распределённой по нормальному закону.

Рис. 1.1 — Кривая плотности нормального закона

Кривая распределения по нормальному закону имеет симметричный колоколообразный вид. Можно показать, что величины  а  и 2, входящие в выражение (1.1), являются основными параметрами нормально распределённой случайной величины  X: , . М( Х ) - это математическое ожидание, основная характеристика центра возможных значений случайной величины Х, а D( Х ) называется дисперсией и является характеристикой степени разброса возможных значений случайной величины Х относительно ее центра.

Параметр  (положительная величина корня квадратного из дисперсии, ) называется средним квадратическим отклонением (СКО) и является более наглядной характеристикой степени разброса случайной величины, так как размерность параметра  совпадает с размерностью самой случайной величины Х.

При изменении параметра a кривая  , не изменяя своей формы, перемещается вдоль оси абсцисс.

При изменении параметра  форма кривой изменяется: если , то параметру  соответствует более узкая в направлении оси ординат кривая и более высокое положение вершины кривой, то есть меньший разброс значений  x_i относительно параметра  ,