3.8 Неравноточные измерения

Неравноточными называют измерения, которые имеют различные дисперсии. Это имеет место, когда измерения производят в различных условиях, по разной методике, с помощью различных приборов.

Для совместной обработки неравноточных измерений вводят веса.

3.8.1 Общие сведения о весах

Весом называется величина, обратно пропорциональная дисперсии

.

(3.22)

Значение  c постоянно для всех измерений и выбирается произвольно.

При  и формула веса принимает вид

,

(3.23)

где   — дисперсия такого измерения, вес которого равен единице.

Дисперсии результатов измерений  , как правило, неизвестны. Заменяя неизвестные дисперсии их оценками, т.е. квадратами средних квадратических ошибок, получаем следующие приближенные формулы веса

,	(3.24)
,	(3.25)

где  — средняя квадратическая ошибка измерения, вес которого равен единице (сокращённо  называют ошибкой единицы веса).

При вычислении весов однородных (или углов, или линий) результатов измерений по формулам (3.24) и (3.25) размерность с = (или ) принимают равной размерности (или ).

В этом случае веса являются величинами безразмерными.

Одной из причин введения весов является возможность установить их, и не зная величин m_i. и .

Так, пользуясь произвольностью выбора  в формуле (3.25)

для нивелирной сети получают следующую формулу веса

,

(3.26)

(где L_i - число км в длине i‑го хода, которое определяют приближенно по схеме нивелирной сети).

Приведем еще одну полезную формулу.

Зная среднюю квадратическую ошибку измерения с весом, равным единице, и вес i‑го измерения, можно вычислить среднюю квадратическую ошибку i‑го измерения:

.

(3.27).

Задача 3.8.1. Вес угла равен 9. Найти среднюю квадратическую ошибку этого угла, если ошибка единицы веса равна 15”.

Решение. Находим среднюю квадратическую ошибку угла

, .

3.8.2 Обратный вес функции общего вида

Пусть дана функция измеренных аргументов. Измерения выполнены некоррелированно, известны их веса .

Используя формулы (3.12) и (3.24), получаем следующую формулу для вычисления обратного веса функции:

.

(3.28)

Если измерения величин коррелированы, т.е. коэффициенты попарной корреляционной связи отличны от нуля, , то обратный вес функции вычисляется по формуле:

.	(3.29)

Задача 3.8.2 Найти веса следующих функций:

1. ; 2. ;

если ; ; ; , .

Решение:

1. ; ;

2. ;

3.8.3 Математическая обработка ряда независимых многократных неравноточных измерений

Пусть имеется ряд многократных, независимых неравноточных измерений одной и той же величины: , истинное значение Х которой неизвестно. Известны веса результатов измерений: .

Под математической обработкой ряда неравноточных измерений понимают:

1. Определение наиболее надёжного значения измеряемой величины — среднего весового, или общей арифметической средины (наилучшей оценки неизвестного истинного значения) :

,

(3.30)

где x₀ — наименьшее значение из ряда , а .

2. Определение по формуле Бесселя средней квадратической ошибки измерения с весом, равным единице (оценки параметра  ):

,

(3.31)

где  — уклонения от среднего весового, которые обладают свойствами:

, б)

Определение средней квадратической ошибки наиболее надёжного значения .	(3.32)