4. Результаты работы и их анализ.

Макет № 41

Измеренные значения и результаты их обработки приведены в таблице 4.1.

Результаты прямых и косвенных измерений Таблица 4.1

	S1 = 8,0 см		S2 = 15,4 см		S3 = 24,6 см		S4 = 31,0 см		S5 =40,6 см
Номер измере­ния	=2,82 см1/2		= 3,92 см1/2		= 4,96 см1/2		= 5,57 см1/2		=6,37 см1/2
	t, c	t2, c2	t, c	t2, c2	t, c	t2, c2	t, c	t2, c2	t, c	t2, c2
1	2,232	4,982	3,377	11,404	4,057	16,459	4,413	19,475	5,359	28,719
2	2,246	5,044	3,408	11,614	4,245	18,020	4,537	20,584	5,255	27,615
3	2,353	5,537	3,351	11,229	4,148	17,206	4,432	19,643	5,429	29,474
4	2,254	5,081	3,214	10,330	3,986	15,888	4,363	19,036	5,040	25,402
5	2,449	5,998	3,332	11,102	4,070	16,565	4,657	21,688	5,152	26,543
< t >, c	2,307		3,336		4,101		4,480		5,247
< t2 >, c2	5,328		11,136		16,828		20,085		27,551

Средние значения времени < t > и квадрата времени < t² > прохождения пути S, приведенные в таблице 4.1, рассчитаны по выражениям 3.1 и 3.2 (число точек измерения n=5 ).

Для первой точки измерения (S₁ = 8,0 см):

Стандартную абсолютную погрешность измерения времени рассчитываем по формуле 3.5 для числа измерений n=5:

Δt₁= t₁−< t>₁ = 2,232−2,307= -0,075 с; Δt₁² = ( -0,075)² = 0,005625 с²;

Δt₂= t₂−< t>₁ = 2,246−2,307= -0,061 с; Δt₁² = ( -0,061)² = 0,003721 с²;

Δt₃= t₃−< t>₁ = 2,353−2,307= 0,046 с; Δt₁² = (0,046)² = 0,002116 с²;

Δt₄= t₄−< t>₁ = 2,254−2,307= -0,053 с; Δt₁² = (-0,053)² = 0,002809 с²;

Δt₅= t₅−< t>₁ = 2,449−2,307= 0,142 с; Δt₁² = (0,142)² = 0,020164 с²;

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути определяется по формуле 3.4. При доверительной вероятности =0,9 и числе измерений n =5 коэффициент Стьюдента t(, n) = 2,1:

σ_сл(t)₁ = 2,1×0,083 = 0,174 c ;

Результаты расчетов погрешностей

прямых и косвенных измерений времени и квадрата времени.

Таблица 4.2

№ измерения	№ опыта	t, с	Δt, с	Δt2, с2	<t>, с	S(t), с	σ(t),с	σ(t2), с2
1	1	2,232	-0,075	0,005625	2,307	0,083	0,174	0,8
	2	2,246	-0,061	0,003721
	3	2,353	0,046	0,002116
	4	2,254	-0,053	0,002809
	5	2,449	0,142	0,020164
	t1 = 2,307 ± 0,174 с
2	6	3,377	-0,041	0,001681	3,336	0,066	0,139	0,93
	7	3,408	-0,072	0,005184
	8	3,351	-0,015	0,000225
	9	3,214	0,122	0,014884
	10	3,332	0,004	0,000016
	t2 = 3,336 ± 0,139 с
3	11	4,057	0,044	0,001936	4,101	0,088	0,185	1,52
	12	4,245	-0,144	0,020736
	13	4,148	-0,047	0,002209
	14	3,986	0,115	0,013225
	15	4,070	0,031	0,000961
	t3 = 4,101 ± 0,185 с
4	16	4,413	0,067	0,004489	4,480	0,105	0,221	1,98
	17	4,537	-0,057	0,003249
	18	4,432	0,048	0,002304
	19	4,363	0,117	0,013689
	20	4,657	-0,177	0,031329
	t4 = 4,480 ± 0,221 с
5	21	5,359	-0,112	0,012544	5,247	0,140	0,294	3,08
	22	5,255	-0,008	0,000064
	23	5,429	-0,182	0,033124
	24	5,040	0,207	0,042849
	25	5,152	0,095	0,009025
	t5 = 5,247 ± 0,294 с

ААбсолютную систематическую приборную погрешность измерения времени определяем как половину цены наименьшего деления секундомера :

σ_сис(t) = 0,0005 с ;

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути по формуле 3.3 :

Так как величина σ_сис(t) много меньше величины σ_сл(t)₁ (σ_сис(t) = 0,0005 с << σ_сл(t)₁ = 0,174 c), то в дальнейшем будем считать, что σ(t)₁ ≈ σ_сис(t)₁ .

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути рассчитываем по формуле 3.6 :

σ(t²)₁ = 2×2,307×0,174 = 0,8 с² ;

Результаты измерений записываем в виде < t > ±  σ(t) :

t₁= 2,307 ± 0,174 с.

Результаты расчетов случайной, приборной и общей погрешности измерений времени и квадрата времени приведены в таблице 4.2.

Абсолютную погрешность измерения расстояния определяем как половину цены деления линейки:

σ(S) = 0,05 см ;

Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния по формуле 3.7 :

Для остальных точек измерений (при других значениях S) расчет проводится аналогично.

Результаты расчетов приведены в таблицах 4.2 и 4.3.

Таблица 4.3.

n/n	S , см	σ(S), см	, см0,5	σ(). см0,5	<t>, c	(<t>)2, c2	(<t>) , c см0,5
1	8,0	0,05	2,82	0,01	2,307	5,328	6,506
2	15,4	0,05	3,92	0,01	3,336	11,136	13,077
3	24,6	0,05	4,96	0,01	4,101	16,828	20,341
4	31,0	0,05	5,57	0,01	4,480	20,085	24,954
5	40,6	0,05	6,37	0,01	5,247	27,551	33,423
	119,6		23,64		19,471	80,928	98,301
МНК	S6		S2		S1	S4	S3

На основании данных, приведенных в таблицах 4.2, 4.3 строим графики зависимостей S = f₁(t) ( рис. 4.1.) и S = f₂(t²) ( рис. 4.2.), на графиках наносим доверительные интервалы.

Рисунок 4.1. Зависимость пройденного пути S от времени t.

Рисунок 4.2. Зависимость пройденного пути S от квадрата времени t².

На рис.4.3. представлен линеаризованный график = f₃(t) зависимости квадратного корня пройденного пути от времени t.

Рисунок 4.3. Зависимость от времени t.

На графике (рис. 4.3) видно, что прямая пересекает доверительные интервалы для всех экспериментальных точек.

Определим из графика угловой коэффициент прямой по формуле 3.8:

_граф = 4,75 / 4,14 = 1,15 см^0,5/с ;

Величину ускорения определим по формуле 3.9:

a_граф = 2×1,15² = 2,645 см/с² ;

По методу наименьших квадратов (МНК) рассчитаем параметр  линеаризованного графика =  t и случайную абсолютную погрешность параметра _сл( ).

По формулам 3.11, используя данные таблицы 4.3, определяем значение величин S₁ − S₆ для расчета по МНК (число точек n =5):

S₁ = 19,471 c; S₄ = 80,928 c² ;

S₂ = 23,64 см^1/2 ; S₆ = 119,6 см ;

S₃ = 98,301 cсм^1/2 ; S₅ = 5×80,928 − 19,471² = 25,52 c  см^1/2 .

По формуле 3.10 определим параметр  линеаризованного графика:

 = (5×98,301 − 19,471 ×23,64) /25,52 = 1,22 см^1/2/c.

Угловой коэффициент прямой  = 1,22 см^1/2/c.

Значение вспомогательной величины S₀ по формуле 3.13:

S₀ =119,6/ 3 – (23,64² + 1,22 ²×25,52 ) / 15 = 0,078 см.

По формуле 3.12 определим погрешность вычисления углового коэффициента прямой:

() = (5×0,078² /25,52) ^0,5 = 0,035 см^1/2/c .

Величина ускорения по формуле 3.9 :

a = 2×1,22² = 2,98 см/с².

Абсолютная случайная погрешность ускорения по формуле 3.14 :

(a) = 4×1,22×0,035 = 0,17 см/с² .

Получаем:

a = (2,98 ±  0,17) см/с² = (2,98 ±  0,17)×10^-2 м/с² .