1.2.2 Проверка статистических гипотез: основные понятия

Статистической гипотезой называют любое утверждение о виде или свойствах распределения наблюдаемых в эксперименте случайных величин. Такие утверждения можно делать на основании теоретических соображений или статистических исследований других наблюдений.

Если для исследуемого явления сформулирована та или иная гипотеза ( обычно её называют основной или нулевой гипотезой и обозначают символом ), то задача состоит в том, чтобы сформулировать такое правило, которое позволяло бы по результатам соответствующих наблюдений ( по имеющимся статистическим данным) принять или отклонить эту гипотезу. Правило, согласно которому проверяемая гипотеза принимается или отвергается, называется статистическим критерием проверки гипотезы . Разработка таких правил и их обоснование с точки зрения требований оптимальности и составляют предмет теории проверки статистических гипотез.

Иногда могут возникнуть ситуации, когда проверяемая гипотеза состоит в том, что некоторый параметр семейства распределений соответствующей совокупности, например среднее значение, дисперсия, имеет наперед заданное значение или множество значений. Такие гипотезы называются параметрическими.

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение. Например, гипотеза о том, что математическое ожидание нормального распределения равно 3( известно) - простая. Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Например, гипотеза о том, что математическое ожидание нормального распределения равно 3( неизвестно) - сложная.

В итоге проверки статистической гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, то есть могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута основная (правильная) гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята конкурирующая (неправильная) гипотеза.

Общий метод проверки гипотез заключается в следующем. Сначала формулируется только одна гипотеза и требуется проверить, согласуются ли имеющиеся статистические данные с этой гипотезой или же они её опровергают. Соответствующие критерии называются критериями согласия.

Рассмотрим общий метод построения критериев. Пусть о распределении случайной величины X=(, описывающий результат изучаемого эксперимента, сформулирована некоторая гипотеза .

Необходимо найти такую статистику T=T(x), характеризующую отклонение эмпирических данных от соответствующих гипотетических значений, распределение которой в случае справедливости можно было бы определить. Пусть - множество всех возможных значений статистики Т; определим подмножество так, чтобы вероятность P(T(x). Тогда правило проверки гипотезы пусть х - наблюдавшаяся реализация случайной величины Х и t=T(x) - соответствующее значение статистики. Если t, то гипотеза должна быть отвергнута как противоречащая статистическим данным.

Статистику Т называют статистикой критерия, а подмножество её значений - критической областью для гипотезы . То есть критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Различают одностороннюю и двустороннюю критические области. Критическими точками называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы. Тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством К<, где положительное число. А левосторонняя область определяется неравенством К>, где отрицательное число. При выполнении обоих неравенств область называют двусторонней. В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется неравенством |K|>.

Число б называют уровнем значимости критерия, и его можно считать вероятностью ложного отвержения гипотезы , когда она верна. Областью принятия гипотезы ( областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Любое распределение наблюдаемой случайной величины Х, которое может оказаться истинным, но отличающееся от гипотетического, называют альтернативой. Совокупность всех альтернатив называют альтернативной гипотезой и обозначают .

Таким образом, критерий определяется заданием соответствующей критической области в множестве значений статистики Т. По своему смыслу критическая область должна включать все маловероятные при гипотезе значения статистики критерия. Обычно используют области вида {t} (для неотрицательных статистик Т) или вида, хотя в конкретных задачах возможны и другие варианты выбора критической области. Вид критической области во многом определяется целью, для которой строится критерий.

Каждый критерий строится для того, чтобы определять, имеют ли место те или иные отклонения от основной гипотезы. Характер таких отклонений может быть разным, поэтому надо иметь критерии как универсального типа («улавливающие» любые отклонения от основной гипотезы), так и предназначенные для выявления отклонений только определенного типа.

Так, часто большие и малые статистики T(X) указывают на разный характер отклонения от нулевой гипотезы, поэтому может оказаться, что в одних случаях лучше использовать критерий, основанный на критической области {t}, а в других - на критической области {t}.

Для проверки одной и той же гипотезы можно строить различные критерии, основываясь на разных статистиках T(X) , и чтобы выбрать в конкретной ситуации тот или иной критерий, надо иметь принципы сравнения различных критериев. Идея построения таких принципов состоит в исследовании поведения критериев при тех или иных отклонениях от основной гипотезы.

Величину W(F)=W(, представляющую собой вероятность попадания значения статистики критерия в критическую область, когда истинным распределением наблюдений является распределение F, называют функцией мощности критерия.

Условие P(T(x) перепишем в виде W(F). Если , то значение W(F) называют мощностью критерия при альтернативе . Значение W(F) при характеризует вероятность принятия правильного решения в ситуации, когда нулевая гипотеза ложна.

Таким образом, если уровень значимости уже выбран, то критическую область следует строить так, чтобы мощность критерия была максимальной. Выполнение этого требования должно обеспечить минимальную ошибку второго рода. Следует отметить, что единственный способ одновременного уменьшения вероятностей ошибок первого и второго рода состоит в увеличении объёма выборок.

Желательным свойством критерия является свойство несмещённости, которое означает, что выполняется: W(F). Или это означает, что вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, когда она истинна, не превышает заданного уровня значимости б, и в то же время если гипотеза ложна, то она отвергается с вероятностью, большей б. Для вычисления статистики критерия необходимо знать распределение статистики критерия не только при нулевой гипотезе, но и при альтернативах. Поэтому функцию W(F) удаётся найти не во всех случаях.

Следует отметить, что важным показателем каждого критерия является трудоемкость практической реализации соответствующего алгоритма. На практике, когда требуется быстро получить ответ, предпочтение нередко отдается просто реализуемому критерию, даже если он не является оптимальным в теоретическом смысле.