1.1.2 Метод характеристических функций

Метод характеристических функций, предложенный Ляпуновым, является одним из основных средств аналитического аппарата теории вероятности. Также этот метод является весьма эффективным при доказательстве самых разнообразных предельных теорем, что и обуславливает его развитие и широкое применение. Наряду со случайными величинами (принимающими действительные значения) теория характеристических функций требует привлечения комплекснозначных случайных величин.

Многие из определений и свойств, относящихся к случайным величинам, легко переносятся и на комплексный случай. Так, математическое ожидание комплекснозначной случайной величины считается определенным, если определены математические ожидания и . В этом случае по определению полагаем . Из определения независимости случайных элементов нетрудно вывести, что комплекснозначные величины , независимы тогда и только тогда, когда независимы пары случайных величин и .

Пусть F=F( - n-мерная функция распределения в (Её характеристической функцией называется функция

Этот интеграл сходится для всех действительных t, так как абсолютные величины не превосходят единицы и сходится.

Если случайный вектор, определенный на вероятностном пространстве (?, F,P) со значениями в , то его характеристической функцией называется функция

где - функция распределения вектора ).

Если функция F(x) имеет плотность f=f(x), то тогда

=

Или, в этом случае характеристическая функция является преобразованием Фурье функции f(x).

Также характеристическую функцию случайного вектора можно определить равенством

С другой стороны, если x - дискретная случайная величина, принимающая значения в конечном или счетном числе с вероятностями , то

Рассмотрим основные свойства характеристической функции:

|(t)| для всех t.

Так как то поэтому | (t)|

(0)=1, поскольку и g(0)=

является действительнозначной функцией тогда и только тогда, когда распределение F симметрично.

, t.То есть функции распределения случайных величин - и совпадают, а значит P(.

Пусть Y=aX+b, где X - случайная величина с плотностью и характеристической функцией . Тогда:

Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.

Некоторые примеры характеристических функций:

с вероятностью 1, то есть , то .

Если имеет показательное распределение с плотностью при х, то .

Характеристическая функция случайной величины однозначно определяет её функцию распределения.

Рассмотрим теорему - формулу обращения. Пусть функция распределения и

ее характеристическая функция.

а) Для любых двух точек, , где функция непрерывна,

б) Если

то функция распределения имеет плотность ,

и

Теорема Бохнера-Хинчина.

Пусть непрерывная функция, , и. Для того чтобы была характеристической функцией, необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательно-определенной, то есть для любых действительных и любых комплексных чисел ,

Метод характеристических функций также называется теоремой Леви о непрерывности. Она является результатом, связывающим поточечную сходимость характеристических функций случайных величин со сходимостью этих случайных величин по распределению.

Суть метода характеристических функций заключается в следующем. Пусть { последовательность случайных величин, не обязательно определённых на одном вероятностном пространстве. Обозначим характеристическую функцию случайной величины Xn, где n, символом. Тогда если по распределению при n, и ц(t) -- характеристическая функция X, то .

И обратно, если , где -- функция действительного аргумента, непрерывная в нуле, то ц(t) является характеристической функцией некоторой случайной величины X, и по распределению при n.

Так как характеристическая функция любой случайной величины непрерывна в нуле, второе утверждение имеет следующее тривиальное следствие. Если , где n(t) -- характеристическая функция Xn, и (t) -- характеристическая функция X, то по распределению при n.

Понятие характеристической функции может быть обобщено на конечные и бесконечные системы случайных величин (т. е. на случайные векторы и случайные процессы).