"ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ"

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Предельные теоремы теории вероятности

1.1.1 Сходимость последовательностей случайных величин и вероятностных распределений

1.1.2 Метод характеристических функций

1.1.3 Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин

1.2 Проверка статистических гипотез

1.2.1 Основные задачи математической статистики и их краткая характеристика

1.2.2 Проверка статистических гипотез: основные понятия

1.2.3 Критерий однородности Смирнова

2. Практическая часть

2.1 Решение задач о типах сходимости

2.2 Решение задач на «Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин»

2.3 Проверка гипотез по критерию однородности Смирнова

Заключение

Использованная литература

теория вероятность статистический величина

Введение

Курс «Теория вероятностей и математическая статистика» занимает особое место в системе математических дисциплин, которые изучаются студентами специальностей ПМ, САУ и ИНФ, как базовый курс. Изучение курса необходимо для освоения основных понятий и методов анализа данных для решения конкретных задач, а также обеспечения других математических дисциплин.

Целью курсовой работы является углубление теоретических знаний по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика», развитие навыков самостоятельной работы; практическое применение теории вероятности и математической статистики при решении прикладных задач.

Данная курсовая работа содержит решение задач на различные типы сходимостей, применение центральной предельной теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин.

Работа состоит из двух частей - теоретической и практической. В теоретической части приведены определения таких понятий, как сходимость последовательностей случайных величин, сходимость вероятностных распределений, характеристическая функция, центральная предельная теорема, статистическая гипотеза, критическая область, критерий согласия. В практической части решены задачи о типах сходимости, центральной предельной теореме для независимых одинаково распределенных случайных величин.

1. Теоретическая часть

1.1 Предельные теоремы теории вероятностей

1.1.1 Сходимость последовательностей случайных величин и вероятностных распределений

Пусть на вероятностном пространстве < ?, F, P> задана последовательность случайных величин о1,…,оn. Рассмотрим некоторые виды сходимостей последовательностей случайных величин и вероятностных распределений.

При исследовании предела последовательности случайных величин 1,…,оn, заданных на одном и том же вероятностном пространстве, мы имеем дело, по существу, с проблемой сходимости последовательных функций {}, но при этом можно не обращать внимания на множество точек щ нулевой вероятности, в которых соответствующие числовые последовательности не имеют предела.

Последовательность случайных величин о1,…,оnсходится к случайной величине о по вероятности, если для любого е>0

.

Такая сходимость обозначается оn, либо P(.

Последовательность случайных величин о1,…,оnсходится к случайной величине о с вероятностью 1 (или почти наверное), если

То есть выполнено для любого , кроме, возможно, из некоторого множества М такого, что P(M)=0. Этасходимостьобозначается при n или п.н. .

В общей теории меры сходимость «почти наверное» называется сходимостью почти всюду и является наиболее сильной из всех форм сходимости функций - случайных величин. То есть событие :

А= { сходится кпри n}= }.

Но, чтобы рассматривать сходимость «почти наверное», необходимо знать, как устроены отображения . А, как правило, в задачах известны не самислучайныевеличины, а лишьихраспределения.

Справедлива теорема:

Последовательностьслучайных величин сходится «почти наверное» к тогда и только тогда, когда для любого

Или, что то же самое,

A P () =1.

Если ряд сходится для любого , то, следовательно, .

Необходимо заметить, что сходимость почти наверное влечет за собой сходимость по вероятности. Но обратное, вообще говоря, не верно, и существуют пределы последовательностей, сходящихся по вероятности, но не имеющих предела почти наверное . Однако, из всякой сходящейся по вероятности последовательности случайных величин можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к тому же пределу почти наверное.

Если - монотонная последовательность, то из сходимости по вероятности следует сходимость с вероятностью 1. И также, если оn , следовательно, существует подпоследовательность {} такая, что при n. То есть из последовательности, сходящейся по вероятности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся с вероятностью 1.

Рассмотрим утверждения относительно сходимости по вероятности.

Пусть последовательность случайных величин {cходится по вероятности к случайной величине Х, а последовательность случайных величин {cходится по вероятности к нулю. Тогда , . Эти утверждения обычно называются теоремами типа Слуцкого.

В рассмотренных выше видах сходимости существенную роль играет задание последовательностей случайных величин на едином вероятностном пространстве <?,F,P>. По существу, близость членов с большими значениями n к их пределу зависит не столько от совпадения распределений и , сколько от близости функций и ).

Последовательность случайных величин {} сходится к случайной величине в среднем порядка p, если M=0. Обозначается . При р=2 получим сходимость в среднеквадратичном (с.к. ). Из сходимости в среднем порядка р следует сходимость по вероятности. Обратное утверждение в общем случае не верно.

Если последовательность случайных величин и М|| < для любого n. Тогда M| |< и М.

Рассмотрим лемму Бореля-Кантелли:

Пусть - события, принадлежащие <?,F,P>. Событие А={произошло бесконечно много событий из }= . Тогда :

если ряд сходится. То P(A)=0;

Если события независимы и ряд расходится, то P(A)=1.

Последовательность {} является фундаментальной по вероятности ( или почти наверное, в среднем порядка р), если для любого е>0 при n, mP(|| Или P(

Критерий сходимости Коши:

Для того, чтобы в каком-либо смысле необходимо и достаточно, чтобы последовательность {} была фундаментальна в соответствующем смысле.

Последовательность случайных величин {} при n сходится слабо (или по распределению) к случайной величине , если для любого x такого, что функция распределения непрерывна в точке х, имеет место сходимость . Обозначается

Иначе говоря, слабая сходимость -- это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

Сходимости обладают свойствами:Если функция распределения непрерывна в точках тоИ наоборот, если во всех точках непрерывности функции распределения имеет место, например, сходимость P(, то

Если , то

Если то .

Если =const и то .

Если=constи то с+

Рассмотрим сходимость распределений.

Считается, что слабо сходится к F, и обозначается это , если для любой непрерывной и ограниченной функции f(x) выполнено: Также определение слабой сходимости можно записать в виде : тогда и только тогда, когдав каждой точке x, являющейся точкой непрерывности F.

Справедливы несколько замечаний:

Сходимость разностей-для любых x и y, являющихся точками непрерывности F.

Если F(x) непрерывна, то сходимостьэквивалентна равномерной сходимости .

Если распределения и дискретны и имеют скачки в одних и тех же точках то будет эквивалентной сходимости вероятностей значений

Пусть - некоторые случайные величины (в общем случае заданные на разных вероятностных пространствах) такие, что

Если , то говорят, что сходится к по распределению и обозначать это

Ясно, что влечет за собой но не наоборот.