4. Анализ безопасности

4.1 Ключевая чувствительность

Алгоритмы PRNG, представленные в разделе 3, используют начальные значения z₁(0), z₂(0), z₃(0) как ключ. В нашем эксперименте мы генереруем две двоичных последовательности с используемыми уравнениями алгоритма 4 и 5 с немного отличающимися ключами. Одна из двоичных последовательностей сгенерирована PRNG с начальным значением z₁(0) = −1.012417782395261. Другой произведен PRNG с начальным значением z₁(0) = −1.012417782395266 (т.е. различие между двумя начальными значениями равно 5 · 10⁻¹⁵). Другой параметры ключей в обоих PRNG является тем же самым: z₂(0) = 0.022341888942009, z₃(0) = 6.010786276501001. Другой параметры систем следует: λ₁ = 8, λ₂= −16, λ₃= −1, τ = 0.1. Двоичная последовательность сгенерирована длины 8 · 10⁵ в битах. Корреляция между двумя двоичными последовательностями равна −0.0003 (интервал выборки - T = 0.01), 1, и показывает, что нет никакой корреляции между двоичными последовательностями, которые произведены PRNG с соседними начальными значениями. Этот эксперимент показывает, что основанное PRNG на обобщенном Лоренце хаотическая система чрезвычайно чувствительно к ключу.

2. Ключевое пространство

У обобщенной хаотической системы Лоренца есть три начальных значения и четыре параметра управления. У каждого алгоритма PRNG должно быть ключевое пространство не меньше чем 2¹²⁸, чтобы выступить против атаки грубой силой. В работе предлагается использование комбинации начальных значений, с двойной точностью, как ключ. Ключ чувствителен к различиям, равным или больше, чем 10⁻¹⁴. Поэтому, полное ключевое пространство равно 10¹⁴ · 10¹⁴ · 10¹⁴ ≈ 2140. Ключевое пространство может быть расширено с помощью использования параметров λ₁, λ₂, λ₃ и τ как часть ключа.

2. Статистический анализ

Наиболее возможные атаки на различные криптографические системы основаны на статистической слабости двоичной последовательности, которые произведены PRNG. Здесь, мы использовали общий SP NIST 800-22 стандартных теста, опубликованные американским Национальным Учреждением Стандарта и Технологической информации Bassham(2010) для статистического анализа предложенного PRNG. Тесты были применены на псевдослучайные последовательности 8 · 10⁶ битов длиной (Таблица 1) и 2, 4 · 10⁵ битов длиной (Таблица 2), произведенная от начальных условий z₁(0) = −1.012417782395261, z₂(0) = 0.022341888942009, z₃(0) = 6.010786276501001 и параметры λ₁ = 8, λ₂= −16, λ₃= −1, τ = 0.1. Интервал выборки - T = 0.01. Результаты SP 8000-22 теста показаны в Таблице 1 и Таблице 2. PRNG с интервалом выборки T = 0.001 дают хороший результат в SP NIST стандартных тестов 800-22 на тест сравнения с шаблонами.

Таблица 1. Результаты SP тест 800-22 PRNG, основанного на алгоритме

использование уравнений (4) и (5).

Тестовый индекс	p значение	Результат
Частота	0.467717	УСПЕХ
Частота блока	0.270637	УСПЕХ
Кумуляьтивная Сумма	0.414979, 0.738513	УСПЕХ
Выполнение	0.814540	УСПЕХ
Самое долгое выполнение	0.882674	УСПЕХ
Разряд	0.439098	УСПЕХ
Неперекрывание на шаблон	0.010412...	УСПЕХ
FFT	0.827409	УСПЕХ
Перекрывание шаблон Соответствие	0.206259	УСПЕХ
Universal	0.853922	УСПЕХ
Приблизительная энтропия	0.831525	УСПЕХ
Случайные отклонения	0.187714...	УСПЕХ
Случайный вариант отклонения	0.108153...	УСПЕХ
Последовательность	0.020636, 0.051270	УСПЕХ
Линейная сложность	0.841081	УСПЕХ

Таблица 2. Результаты SP тест 800-22 PRNG, основанного на алгоритме, используя уравнения (6) и (7).

Тестовый индекс	p значение	Результат
Частота	0.411607	УСПЕХ
Частота блока	0.459375	УСПЕХ
Комулятивные Суммы	0.305161, 0.662097	УСПЕХ
Выполнение	0.071376	УСПЕХ
Самое долгое выполнение	0.561224	УСПЕХ
Разряд	0.147370	УСПЕХ
Неперекрывание на шаблон	0.012808...	УСПЕХ
FFT	0.237078	УСПЕХ
Перекрывание шаблон Соответствие	0.616101	УСПЕХ
Universal	0.622942	УСПЕХ
Приблизительная энтропия	0.130159	УСПЕХ
Случайные отклонения	0.192581...	УСПЕХ
Случайный вариант отклонения	0.103418...	УСПЕХ
Последовательность	0.823813, 0.947866	УСПЕХ
Линейная сложность	0.084808	УСПЕХ