Вариант 4

Десять спортсменов-бегунов проранжированы по двум признакам: X— рост спортсмена,Y— скорость бега (табл. 8.4).

Таблица 8.4

Таблица рангов для варианта 4

Ранг X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Ранг Y	5	6	10	7	9	4	3	1	8	2

РЕШЕНИЕ

Ранговая корреляция

Близость двух рядов рангов отражает величина

Она принимает наименьшее возможное значение тогда и только тогда, когда последовательности рангов полностью совпадают. Наибольшее возможное значениевеличинаSпринимает, когда эти последовательности полностью противоположны. Поэтому в качестве меры монотонной зависимости признаковXиYрассматриваюткоэффициент ранговой корреляции Спирмена:

Коэффициент по абсолютной величине ограничен единицей:и принимает значенияв случаях полной предсказуемости одной ранговой последовательности по другой. Проверка значимости коэффициента корреляции Спирмена проводится с помощью той же статистики, что и для коэффициента корреляции Пирсона.

По данным примера рассчитаем коэффициент корреляции Спирмена.

Ранговые последовательности

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	5	6	10	7	9	4	3	1	8	2
	-4	-4	-7	-3	-4	2	4	7	1	8
	16	16	49	9	16	4	16	49	1	64

В последней строке таблицы указана разность рангов

Величина S равна

Коэффициент корреляции Спирмена рассчитаем по формуле при

Значение коэффициента корреляции Спирмена примерно равно –0,5, поэтому между признаками X и Y можно предполагать наличие некой отрицательной корреляционной связи.

Проверим значимость полученного результата при α = 0,05.

Сформулируем основную и альтернативную гипотезы.

—коэффициент корреляции не значим, т.е. между переменными X и Y нет линейной связи.

—коэффициент корреляции значим, переменные X и Y связаны отрицательной линейной зависимостью.

Проверка значимости коэффициента корреляции Спирмена проводится с помощью той же статистики, что и для коэффициента корреляции Пирсона (табл. 7.1).

Таблица 7.1

Проверка значимости коэффициента корреляции Пирсона

Гипотеза
Предположение	Двумерная нормальная генеральная совокупность
Оценки по выборке
Статистика К
Распределение статистики К	Стьюдента

Наблюдаемое значение статистики K равно

Определим границу критической области по таблице распределения Стьюдента. По виду альтернативной гипотезы заключаем, что критическая область является левосторонней: Значениенаходим по таблице распределения Стьюдента (приложение 3):

Наблюдаемое значение не попадает в критическую областьпоэтому нет оснований отвергать основную гипотезу в пользу альтернативы: связь между переменнымиX и Y незначима.

Данные наблюдений на уровне значимости 0,05 говорят о том, что рост спортсмена оказывает не существенное влияние на скорость его бега.

Задача 7.Тема: «Линейная корреляция и регрессия».

Для приведенных исходных данных (табл. 8.11 – 8.20) постройте диаграмму рассеяния и определите по ней характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0.05. Запишите уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.

РЕШЕНИЕ

1. Построим поле корреляции (точечную диаграмму), изобразив в прямоугольной системе координат точки с координатами, соответствующими каждой паре наблюдений (x_i ,y_i ).

X	20	50	60	70	80	90	100
Y	20	25	28	30	35	40	45

2. На основании поля корреляции можно сделать предположение о наличии между случайными величинами X и Y корреляционной зависимости и о форме этой зависимости.

На основании поля корреляции можно предположить существование между величинами Х и Y линейной корреляционной зависимости с функцией регрессии y = Ax + B.

3. Вычислить оценки математических ожиданий случайных величин X и Y - средние арифметические

Рабочая таблица

№№п/п
	20	20	-47,14	-11,86	2222,45	140,59	559,08	19,17
	50	25	-17,14	-6,86	293,88	47,02	117,58	27,23
	60	28	-7,14	-3,86	51,02	14,88	27,56	29,92
	70	30	2,86	-1,86	8,16	3,45	-5,32	32,60
	80	35	12,86	3,14	165,31	9,88	40,38	35,29
	90	40	22,86	8,14	522,45	66,31	186,08	37,98
	100	45	32,86	13,14	1079,59	172,73	431,78	40,66
	470	223	0	0	4342,86	454,86	1357,14	223

1.

2.

4. несмещенные оценки дисперсий:

5. Оценка коэффициента корреляции Пирсона:

6. Проверить гипотезу о не значимости коэффициента корреляции.

- нулевая гипотеза о не значимости коэффициента корреляции.

Эмпирическое значение критерия проверки гипотезы:

Критическое значение критерия t_Т = 2,57  находится из таблицы распределения Стьюдента (Приложение 3) по уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы k = n – 2 = 5 .

Так как t_Э > t_Т, нулевая гипотеза отклоняется и коэффициент корреляции значим.

7. Получим уравнение регрессии случайной величины Y на X. Нанесем прямую регрессии на график.

_-уравнение прямой регрессии;

Параметры уравнения регрессии:

Уравнение регрессии: Нанесем прямую регрессии на график поля корреляции.

8. Дадим интерпретацию полученных результатов.

Коэффициент a характеризует наклон линии регрессии и его значение a = 0,27 показывает, что при увеличении X на единицу ожидаемое значение Y возрастает на 0,27. Регрессионная модель указывает на то, что при увеличении веса растения на 1 %, вес его семечки увеличивается на 0,27 г. Отсюда a можно интерпретировать как прирост веса семечки растения, который меняется в зависимости от веса самого растения.

Свободный член b в нашем уравнении – это значение Y при X = 0. Можно рассматривать b как меру влияния на вес семечки других факторов, не включенных в уравнение регрессии. Это влияние можно оценить с помощью коэффициента детерминации, который характеризует для линейной модели долю объясняемого моделью разброса экспериментальных данных. В нашем примере ,

следовательно, модель учитывает 69 % изменения веса семян. А 31 % разброса объясняются факторами, не включенными в уравнения регрессии.

Коэффициент эластичности вычислим по формуле ,

то есть при увеличении среднего веса растения на 1 %, вес его семечек возрастет в среднем на 0,57 %.