Вариант 4

С помощью случайной выборки оценивается среднее время ежедневного просмотра телепередач абонентами кабельного телевидения в период с 18 до 22 ч. Каким должен быть объем выборки в этом случае, если в предыдущих выборочных обследованиях стандартное отклонение времени просмотра передач составило 40 мин., а отклонение выборочной средней от генеральной средней по абсолютной величине не должно превышать 5 мин. с вероятностью 0.99?

РЕШЕНИЕ

По условию и требуется найти объём выборкиn. В этом случае гдеПо таблице функции Лапласа (приложение 1) найдем, при какомзначениеПолучимОтсюда необходимый объем выборки

Учитывая, что необходимо не превышать заданную ошибку, округляем результат до большего целого:

Итак, чтобы с вероятностью 0,99 и точностью минут оценить среднее время ежедневного просмотра телепередач абонентами кабельного телевидения в период с 18 до 22 час. требуется обследовать не менее 427 абонентов.

Задача 4.Тема: «Проверка статистических гипотез»

Вариант 4

Компания по производству безалкогольных напитков предполагает выпустить на рынок новую модификацию популярного напитка, в котором сахар заменен сукразитом. Компания хотела бы быть уверенной в том, что не менее 70 % ее потребителей предпочтут новую модификацию напитка. Новый напиток был предложен на пробу 2000 человек, и 1422 из них сказали, что он вкуснее старого. Может ли компания отклонить предложение о том, что только 70 % всех ее потребителей предпочтут новую модификацию напитка старой? Уровень значимости 0.05.

РЕШЕНИЕ

Сформулируем основную и альтернативную гипотезы.

— неизвестная генеральная доляpравна заданному значениюПрименительно к условию — только 70% всех потребителей компании предпочтут новую модификацию напитка .

— новый напиток предпочтут более 70% потребителей. При такой альтернативной гипотезе критическая область будет правосторонней.

Наблюдаемое значение статистики Kвычислим при заданных значениях

Критическое значение находим по таблице функции Лапласа (приложение 1) из равенства

По условию отсюдаиКритическая область правосторонняя, т.е. является интерваломНаблюдаемое значениене принадлежит критической области, следовательно, на данном уровне значимости нет оснований отклонять основную гипотезу. Компания не может отклонить предположение о том, что только 70 процентов всех ее потребителей предпочтут новую модификацию напитка старой.

Задача 5.Тема: «Критерий согласия Пирсона»

По результатам наблюдений определены частоты попадания случайной величиныX в заданные интервалы . Рассчитать по данному статистическому ряду оценки параметровпользуясь формулами

где n — объем выборки;

k — число интервалов группировки;

—середина j­–го интервала.

С помощью критерия согласия Пирсона на уровне значимости выяснить, можно ли считать случайную величинуX нормально распределенной с параметрами иs, рассчитанными по выборке.

Вариант 4

	[1.3; 1.5)	[1.5; 1.7)	[1.7; 1.9)	[1.9; 2.1)	[2.1; 2.3)	[2.3; 2.5)
	2	4	11	8	5	3

РЕШЕНИЕ.

№ п/п	Интервалы группировки	Наблюдаемая частота
1	[1.3; 1.5)	2	1,4	2,8	0,5308
2	[1.5; 1.7)	4	1,6	6,4	0,3973
3	[1.7; 1.9)	11	1,8	19,8	0,1459
4	[1.9; 2.1)	8	2	16	0,0576
5	[2.1; 2.3)	5	2,2	11	0,4057
6	[2.3; 2.5)	3	2,4	7,2	0,7052
	_	33		63,2	2,2424

Сформулируем основную и альтернативную гипотезы.

—случайная величина X подчиняется нормальному закону с параметрами Так как истинных значений параметровимы не знаем, возьмем их оценки, рассчитанные по выборке:

случайная величина X не подчиняется нормальному закону с данными параметрами.

Рассчитаем наблюдаемое значение статистики Пирсона. Эмпирические частотыуже известны, а для вычисления вероятностей(в предположении, что гипотезасправедлива) применим формулу:

и таблицу функции Лапласа (приложение 1). Полученные результаты сведем в таблицу. Наблюдаемое значение статистики Пирсона равно

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение , тем сильнее довод против основной гипотезы. Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя:Её границунаходим по таблицам распределения «хи-квадрат» (приложение 2) и заданным значениям(число интервалов),(параметрыиоценены по выборке):

Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: поэтому есть основания отвергать основную гипотезу.

Вывод: на уровне значимости 0.05 справедливо предположение о том, что случайная величина X не подчиняется нормальному закону с данными параметрами.

Сравнение наблюдаемых и ожидаемых частот

№ п/п	Интервалы группировки	Наблюдаемая частота	Вероятность попадания в j-й интервал	Ожидаемая частота	Слагаемые статистики Пирсона
1	[1.3; 1.5)	2	0,2764	9,1212	5,5597
2	[1.5; 1.7)	4	0,2764	9,1212	2,8754
3	[1.7; 1.9)	11	0,2764	9,1212	0,3870
4	[1.9; 2.1)	8	0,2764	9,1212	0,1378
5	[2.1; 2.3)	5	0,2764	9,1212	1,8621
6	[2.3; 2.5)	3	0,2764	9,1212	4,1079
	_	33	1,6584	54,7272

Задача 6.Тема: «Ранговая корреляция».

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена (табл. 8.1 – 8.10) и проверить значимость полученного результата при α = 0,05.