Вариант 4

В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает пять счетов. Вероятность наличия ошибки в каждом счете — величина постоянная и равна 0.03. Случайная величина X — количество счетов с ошибкой. Какова вероятность того, что хотя бы один счет будет ошибкой?

Решение.

Перечислим все возможные значения случайной величины X: 0, 1, 2, 3, 4, 5 (т. к. 5 счетов). Все 5 испытаний независимы, то есть вероятность, что в каждом из отобранных счетов будет ошибка, не зависит от того, есть ли или нет ошибки в других счетах.

Вероятность «успеха» (в случае этой задачи вероятность того, что в каждом счете будет ошибка) постоянна и равна p= 0,03.

Вероятность «неудачи» q= 1 –p= 1 – 0,03 = 0,97.

Очевидно, что случайная величина Xподчиняется биноминальному закону распределения с параметрамиn= 5 иp= 0,03.

Составим таблицу распределения случайной величины. Для это по формуле:

рассчитаем вероятность того, что случайная величинаXпримет каждое из своих возможных значений.

n	k	p	q	Pn
5	0	0,03	0,97	0,8587340257	P (X = 0)
	1			0,1327939215	P (X = 1)
	2			0,0082140570	P (X = 2)
	3			0,0002540430	P (X = 3)
	4			0,0000039285	P (X = 4)
	5			0,0000000243	P (X = 5)
			Сумма	1,0000000000

Запишем полученные вероятности в таблицу распределения и сделаем проверку, т. к. все возможные значения случайной величины Xобразуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей должна быть равна 1.

Таблица распределения случайной величины X.

X = xi	0	1	2	3	4	5
P (X = xi) = pi	0,8587340257	0,1327939215	0,0082140570	0,0002540430	0,0000039285	0,0000000243

Таблицу распределения представим графически в виде многоугольника распределения.

Найдем числовые характеристики данной случайной величины.

Математическое ожидание дискретной величины может быть рассчитано по определению:

Но т. к.X– биноминально распределенная случайная величина с параметрамиn= 5 иp= 0,03, то ее математическое ожидание может быть найдено по формуле:

Дисперсию этой случайной величины также можно рассчитать 2-мя способами. По вычислительной формуле для дисперсии произвольной случайной величины имеем:

А по формуле для биноминального закона распределения

Среднее квадратическое отклонение равно

Построим теперь функцию распределения данной случайной величины Х. По условию задачи и определению функции распределения

где для каждого значения суммируются вероятности тех значений, которые лежат левее точки. Рассчитаем эти суммарные вероятности для разных значений.

Если , то

При

При

Если , то

Если , то

Если , то

Если , то

Итак, функция распределения случайной величины имеет вид:

ее график является ступенчатой линией

Определим теперь вероятности, связанные с нашей случайной величиной. Вероятность того, что среди отобранных счетов не будет ни одного с ошибкой, есть вероятность случайной величине Xпринять значение 0

Вероятность того, что среди 5-ти счетов окажется хотя бы один счет с ошибкой – это вероятность принятия случайной величиной значения 1, 2, 3, 4, 5. Используя формулу сложения вероятностей несовеместных событий получим

Этот же результат можно получить, перейдя к противоположному событию:

Вероятность того, что хотя бы один счет будет с ошибкой равна 0,14.

Задача 5. Тема: «Описательная статистика»

Для приведенных ниже выборочных данных выполнить следующую обработку, пояснив полученные результаты:

а) найти выборочные значения среднего арифметического, моды, медианы;

б) найти размах выборки, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение; проверить выполнение правила «3сигма»;

в) оценить симметричность распределения с помощью первого коэффициента Пирсона;

г) найти верхнюю и нижнюю выборочные квартили, пояснить их смысл;

д) построить сгруппированный статистический ряд и гистограмму;

е) найти модальный и медианный интервалы, сравнить середины этих интервалов со значениями моды и медианы, рассчитанными по выборке.

Для выполнения расчетов и построения гистограмм рекомендуются средства MathCad, Excel.