0

Державний вищий навчальний заклад

«Запорізький національний університет»

Міністерства освіти і науки України

І.А. Костюшко, С.П. Швидка

Рівняння математичної фізики

Методичні вказівки до виконання індивідуального завдання

для студентів освітньо-кваліфікаційного рівня

«бакалавр» напряму підготовки

«Прикладна математика»

Затверджено

Вченою радою ЗНУ

Протокол № від

Запоріжжя

2013

УДК: 51: 517.958 (075.8)

ББК: В19я73

К727

Костюшко І.А., Швидка С.П. Рівняння математичної фізики: методичні вказівки до виконання індивідуального завдання для студентів освітньо-кваліфікаційного рівня «бакалавр» напряму підготовки «Прикладна математика». – Запоріжжя: ЗНУ, 2013. — 56 с.

Методичні вказівки містять теоретичні та методичні положення щодо виконання індивідуального завдання з фундаментального курсу «Рівняння математичної фізики». Перед кожним завданням наведено стислі теоретичні відомості та розв’язки типових задач, що допомагає студенту самостійно засвоїти теоретичний матеріал курсу.

Призначені для студентів освітньо-кваліфікаційного рівня «бакалавр» напряму підготовки «Прикладна математика».

Рецензент С.І. Гоменюк

Відповідальний за випуск В.З. Грищак

Зміст

Вступ……………………………………………………………………………… 4 Тема 1. Класифікація диференціальних рівнянь у частинних похідних другого порядку та зведення їх до канонічної форми……………………... 5 1.1 Класифікація диференціальних рівнянь у частинних похідних другого порядку…………………………………………………………… 5 1.2 Приклад розв’язку індивідуального завдання 1………………………… 8 1.3 Варіанти індивідуального завдання 1……………………………………. 11 Тема 2. Постановка та розв’язок однорідних крайових задач математичної фізики…………………………………………………………… 13 2.1 Основні поняття й визначення щодо розв’язку крайових задач математичної фізики……………………………………………………… 13 2.2 Рівняння лінійної теплопровідності……………………………………... 14 2.3 Початкові та крайові мови………………………………………………... 16 2.4 Метод Фур'є щодо розв’язку крайових задач для рівнянь параболічного типу……………………………………………………….. 17 2.5 Приклад розв’язку індивідуального завдання 2………………………… 23 2.6 Варіанти індивідуального завдання 2……………………………………. 25 2.7 Приклад розв’язку індивідуального завдання 3………………………… 27 2.8 Варіанти індивідуального завдання 3……………………………………. 29 Тема 3. Постановка та методи розв’язку неоднорідних крайових задач математичної фізики…………………………………………………………… 30 3.1 Крайова задача з неоднорідним рівнянням теплопровідності та однорідними крайовими умовами……………………………………. 30 3.2 Приклад розв’язку індивідуального завдання 4………………………… 32 3.3 Варіанти індивідуального завдання 4……………………………………. 35 3.4 Метод Дюамеля щодо розв’язку неоднорідних крайових задач математичної фізики……………………………………………………… 37 3.5 Приклад розв’язку індивідуального завдання 5………………………… 38 3.6 Варіанти індивідуального завдання 5……………………………………. 40 3.7 Перетворення неоднорідних граничних умов на однорідні…………... 42 3.8 Постановка та розв’язок крайової задачі, що містить неоднорідні крайові умови для рівняння теплопровідності……………. 44 3.9 Крайова задача для рівняння теплопровідності в загальній постановці…………………………………………………………………. 45 3.10 Приклад розв’язку індивідуального завдання 6………………………… 46 3.11 Варіанти індивідуального завдання 6…………………………………… 48 3.12 Варіанти індивідуального завдання 7……………………………………. 50 3.13 Варіанти індивідуального завдання 8…………………………………… 52 Термінологічний словник……………………………………………………….. 54 Рекомендована література………………………………………………………. 55

Вступ

Більшість математичних моделей, у основі яких лежать диференціальні рівняння в частинних похідних, були розроблені для розв’язку задач, що описують фізичні процеси в гідродинаміці, аеромеханіці та електродинаміці. Як пожартував із цього поводу Дж. Літлвуд, об’єктами прикладної математики є «вода, газ та електрика». Саме тому в додатках диференціальні рівняння в частинних похідних отримали назву рівнянь математичної фізики.

У наш час за допомогою таких рівнянь моделюють процеси різної природи: фізичні, екологічні, хімічні, біологічні, економічні та ін. Широке застосування методи математичної фізики знаходять і при розв’язку інженерних задач.

Така інформаційна ємкість, або, як казав А.Д. Сахаров, «всесильність» рівнянь математичної фізики обумовлена тим, що в їх основі лежать фундаментальні закони природи, такі, наприклад, як закони збереження, пов’язані із симетрією простору та часу. Саме завдяки цьому такі, на перший погляд, різні процеси, як поширення тепла в суцільному середовищі, дифузія хімічних компонентів, проникнення магнітного поля до добре провідного середовища та розповсюдження хвиль епідемій, можна описати однаковими за формою рівняннями.

Формулювання задачі математичної фізики в загальному випадку містить у собі постановку диференціального рівняння в частинних похідних, що описує процес, який вивчається, а також граничні та початкові умови, що відокремлюють у єдиний спосіб конкретний процес із нескінченної множини аналогічних процесів.

Ж. Адамаром було введено поняття коректної постановки задачі математичної фізики. Задача для рівняння в частинних похідних у розглянутій області поставлена коректно, якщо розв’язок цієї задачі існує, єдиний та стійкий до малих змін вихідних даних.

Прийнято виділяти класичний розв’язок задачі, гладкість якого узгоджена з диференціальним рівнянням, граничними та початковими умовами. Такий розв’язок містить усі похідні, приписувані диференціальним рівнянням, аж до межі й гладко примикає до початкових даних.

У сучасній математичній фізиці із застосуванням результатів теорії узагальнених функцій у якості розв’язку задач часто розглядають некласичні, або узагальнені, розв’язки. Такі розв’язки в деяких точках області взагалі можуть не мати похідних у звичному сенсі. У таких точках області слід говорити лише про узагальнені похідні.

Крім того, в таких задачах при записі граничних та початкових умов можна застосовувати функції, що не диференціюються, розривні й навіть «дивні» функції зосередженого й миттєвого впливу, розуміючи збіжність розв’язку до таких функцій не як рівномірну поточечну збіжність, а як збіжність у середньому, або слабку збіжність.

Зокрема, в даному курсі широко використовується узагальнена функція, введена в математичну фізику П. Діраком й названа дельта-функцією. За допомогою такої функції ми будемо описувати зосереджену передачу імпульсу в задачах про коливання тіла, миттєвий зосереджений вплив локального теплового джерела в теорії теплопровідності або розподіл електричної щільності точечного заряду в теорії електромагнітного поля.

Стійкість розв’язку до малих змін вихідних даних для коректності задачі за Адамаром означає, що в такій задачі малі збурення початкового стану можуть привести лише до малих збурень наступних станів.

Довгий час у математичній фізиці вважалося, що будь - яка задача повинна бути поставлена коректно. Однак багато практично важливих задач є некоректними за постановою. В окремому випадку некоректними виявляються обернені задачі щодо визначення характеристик явищ за результатами вимірювання. Школою академіка А.Н. Тихонова було розроблено спеціальні методи регуляризації, які дозволяють розв’язувати некоректно поставлені задачі та отримувати із їх розв’язку важливу інформацію. Викладення цих методів можна знайти у спеціальній літературі [4].

Тому однією метою курсу є розвиток навичок правильної постановки задач математичної фізики.

Об’єм знань, необхідний для розв’язку задач математичної фізики, передбачає впевнене володіння матеріалом таких розділів математики, як векторний аналіз та елементи теорії поля, ряди Фур’є, теорія функцій комплексної змінної, звичайні диференціальні рівняння, інтегральні перетворення.

Поділ матеріалу методичних вказівок на три розділи відповідає трьом рівням складності. Вивчення кожного наступного розділу передбачає опрацювання попереднього. У кожному розділі наведено комплекс задач для самостійного розв’язку для закріплення теоретичного матеріалу.