Астрономічні задачі

1. Оцініть приблизну ширину метеорного потоку Леоніди, якщо відомо, що він спостерігається з 16 по 22 листопада.

Відповідь. Протяжність метеорного потоку щонайменше дорівнює довжині шляху, який Земля проходить за даний час. Для нашого випадку це 7 діб. Протяжність біля 0.12 а.о.

2. Який період обертання штучного супутника Землі, що рухається на відстані 1600 км від поверхні Землі?

Розв’язок:

- сила тяжіння ШСЗ,

Доцентрова сила, що діє на супутник .

Тоді

Звіси період Т= = 7200 сек  2 год

3. Запропонуйте метод визначення мас планет Венери і Марса за спостереженнями з Землі.

Відповідь: Масу планети можна визначити дуже точно, якщо у неї є супутник. Його відстань від центру планети R і період обертання T дозволяють за третім законом Кеплера обчислити масу планети:

Отже для Марса, що має супутники, задача визначення маси вирішується просто. У Венери супутників немає. Тому її точну масу вдалося встановити лише після появи у Венери штучних супутників.

4. Яку частку земної поверхні може охопити поглядом

космонавт з висоти 400 км?

Розв’язок:.

Нехай т.О – центр Землі, К – космонавт, Г – горизонт. Позначимо довжини відрізків: ОГ через R, КГ через D.Тоді довжинва відрізка КО дорівнює R+h , де h=400 км – висота орбіти. Відстань до горизонту визначимо з рямокутного трикутника ГОК за теоремою Піфагора (R + h)² = D² + R², звідки D² = 2 R h + h² = 2 R h (1 + h/2R).

Оскільки h<< R, то доданком h² можна знехтувати. Тоді отримаємо формулу для відстані до горизонту для висоти спостерігача h << R: D = .

Оскільки D << R, площу поверхні Землі, досяжну погляду космонавтв, можна визначити як площу круга: s =  D², оскільки повна площа поверхні землі обчислюється як площа сфери:

S = 4  R². Відношення цих сфер складає

(тобто 3%).

5. Розрахувати другу космічну швидкість для частинки поблизу нейтронної зорі, якщо її радіус 10 км та маса рівна сонячній масі. Маса Сонця рівна 1,989∙10³⁰ кг. (9 балів)

Відповідь: Параболічна швидкість (друга космічна)

Підставляємо значення G=6,67∙10^-11 Н∙м²/кг²; M =2∙10³⁰ кг; R = 10⁴м, υ_p=1,63∙10⁸м/c (Більше половини швидкості світла!)

6. Чи будуть однакові швидкість вильоту і дальність польоту снаряда при пострілі з однієї і тієї ж гармати на Землі і на Місяці? (опором земної атмосфери знехтувати).

Розв’язок:

Кінетична енергія снаряда залежить тільки від енергії заряду і співвідношення мас гармати (M) і снаряда (m). Якщо маса гармати велика, то снаряд забирає із собою всю енергію пострілу Е:

Mυ + mυ = 0- закон сохранения импульса

- закон сохранения энергии

звідки , тому швидкість вильоту снаряда не залежить від того, на якому небесному тілі зроблено постріл. А дальність його польота - залежить. Нехай  - кутнахилу дула гармати до горизонту. Тоді дальність польоту L =

Як бачимо, при однакових  і υ дальність польоту обернено пропорційна значенню g. Наприклад, на Місяці та ж гармата вистрелить в 6 разів далі, ніж на Землі (а з урахуванням опору повітря - ще далі).

7. Перший радянський супутник виглядав як баскетбольний м’яч, діаметром 580 мм і масою 83.6 кг. Його поверхню було вкрито шаром добре відполірованого алюмінію, товщиною 2 мм. Рухався супутник по еліптичній орбіті з перигеєм 227 км і апогеєм 945 км. Оцініть, чи можна було спостерігати супутник неозброєним оком.

Розв’язок:

Потік енергії від Супутника до спостерігача:

Аналогічно для Місяця

Супутник був зеркальним, то ж його альбедо Альбедо Місяця візьмемо з таблиці. Тому: , це відповідає 15.7 зоряним величинам. Беручи до уваги зоряну величину Місяця -12.7, маємо величину Супутника -12.7+15.7=3.0

Отже, супутник було видно неозброєним оком.

8. Відомо, що вільні електрони розсіюють випромінювання практично рівномірно у всі боки як металеві кульки з радіусом 4.6*10^–15 м, а важчі частинки (атоми, іони, протони) розсіюють випромінювання значно гірше. Вважаючи, що корона складається з чистого водню, атмосферний тиск у нижніх шарах сонячної корони складає 0.003 Па, а середня температура корони 1 000 000 K, оцініть зоряну величину Сонця під час повної фазі сонячного затемнення на Землі.

Розв’язок.

Температура висока, тому газ повністю іонізований. Основний внесок у світимість корони вносять близькі до Сонця ділянки. Вважаючи, що прискорення вільного падіння з висотою не змінюється, принаймні у нижніх шарах корони, тиск рівний:

тут - маса речовини у короні, що знаходиться у стовпі площею 1 м². З високою точністю це є маса протонів. У цій же зоні рівно стільки ж електронів , які перехоплюють випромінювання, що йде знизу. Загальна площа всіх цих електронів

Тобто, електрони перехоплюють і розсіюють саме цю частку випромінювання Сонця, і тому

9. Момент останнього великого протистояння Марса - 28 серпня 2003 року о 17:30 за всесвітнім часом. Наступна така подія буде у 2018 році. Визначте момент його настання.

Розв’язок:

Синодичний період Марса ... 779.95 діб. 28 серпня 2018 року буде через 5479 від 28 серпня 2003 року, тобто, через 7.027 синодичних періоди. Точніше, через 5479 – 7*779.25 = -19.35, тобто, за 19.35 діб до 28 серпня. Це 9 серпня.

10. Яким має бути розмір гіпотетичної міжзоряної хмари молекулярного водню з густиною, рівною густині повітря за нормальних умов і температурою 1000 К, щоб з неї утворилася зоря масою 0.2 маси Сонця. Оцініть час стиснення хмари в зорю.

Розв’язок.

Для цього потрібно визначити, при якому радіусі хмари, у ній всередині буде маса, рівна 0.2 маси Сонця:

У оригінальному тексті задачі пропонується також визначити розмір хмари, при якому воно стане стискуватись під дією власної гравітації, а не буде розсіюватись. Для цього теплова швидкість його частинок не повинна бути більшою, ніж друга космічна швидкість на краю. Тобто,

З цього виразу отримаємо Однак, з такої хмари вийде

дуже маленька зірочка, лише вдвічі більша, ніж Земля, тому це обмеження не грає суттєвої ролі.

Для оцінки часу стиснення, порахуємо час, за який молекула на краю хмари долетить до її середини, за умови просто вільного падіння, навіть нехтуючи зміною прискорення вільного падіння з часом. Отже,

11. Дід Мороз запитав у свого оленя (на якому він розвозить подарунки) скільки зірок на небі? Вияснилось, що на всьому небі олень налічує їх аж 252707. Чому? Поясніть відповідь обчисленнями.

Розв’язок.

Олень бачить в разів більше зірок. Якщо зірки розподілені рівномірно, це значить, що олень заглядає 3,48³ = 42,12, тобто в 3.48 разів далі. Проникна сила зрачків (так би мовити телескопів) пропорційна діаметру, тому, зрачок ока оленя в 3,48 разів більший, тобто близько 20 мм.

12. Кулясте зоряне скупчення на нашому небі має блиск +4,5 і видимий діаметр 25’. Відстань до скупчення 3 кпк. Вважаючи, що скупчення складається виключно з зірок типу Сонця, що рівномірно займають його об’єм, а поглинання світла немає, оцініть яскравість на нічному боці планети, що обертається довкола зірки поблизу центра скупчення. Порівняйте з освітленістю на Землі при повному Місяці.

Розв’язок:

Радіус скупчення

Його об’єм

З відстані 3 кпк зірка типу нашого Сонця буде мати зоряну величину

Тому всього зірок у скупченні (m₀ – зоряна величина всього скупчення).

А їх концентрація

Кількість зірок у сферичній оболонці

Зоряна величина окремої зірки

Освітленість від неї

Освітленість від усіх зірок оболонки

Освітленість від усіх зірок скупчення є сума всіх освітленостей від усіх зірок скупчення.

Повна зоряна величина

Приблизно в 60 разів темніше, ніж при повному Місяці на Землі.

13. Паралакс Альтаїра 0.198’’, власний рух 0.658’’/рік, променева швидкість -26 км/с, зоряна величина 0.89^m. Коли та на якій відстані Альтаїр буде найближче до Сонця? Яка в нього буде зоряна величина в цей момент?

Розв’язок.

Швидкість, перпендикулярна до променя зору

Швидкість вздовж променя зору υ_R = 26 км/с.

Загальна швидкість 30,42 км/с спрямована до променя зору під кутом б. tgб = 15,79/26. cosб = 0/8546, sinб = 0.5193.

У прямокутному трикутнику з вершинами у Альтаїрі, Сонці і основі перпендикуляря, опущеного з Сонця на лінію, вздовж якої рухається Альтаїр сторони рівні 5,05, 4,32 і 2,62 парсек. Час на проходження відстані 4,32пк складає 139 тис років, найменша відстань 2,62 пк.

14. Знайти ексцентриситет і велику піввісь орбіти комети, якщо в перигелії лінійна швидкість в 10 раз більша, ніж у афелії, а перигелійна відстань рівна 0.5 а.о.

Розв’язок.

Оскільки простий запис цього рівняння для перигелію та афелію дає:

, тобто е=9/11. Крім того,

тобто а=2,75 а.о.

15. На одному з дивних астероїдів Сонячної системи, альбедо якого рівне нулю сидить група абсолютно чорних котів, які дивляться в сторону Сонця. Спостерігач на Землі бачить їх як один об’єкт. Один з котів закрив одне своє око, після чого спостерігач помітив, що зоряна величина цього об’єкта

Розв’язок:

Кожне око є джерело світла. Нехай їх n штук. Тоді

, але Тому

звідки отримуємо . Отже котів три.

16. Лінія 434.0 нм у спектрі далекої галактики має довжину хвилі 477.4 нм. Видимий діаметр галактики 10’’. Знайти швидкість руху галактики, відстань до неї і розміри. Порівняти з Галактикою.

Розв’язок.

Червоне зміщення лінії у спектрі галактики рівне z = (л-л₀)/л₀=434/4340 = 0,1. Згідно з ефектом Доплера це зміщення лінії пояснюється віддаленням від нас зі швидкістю V = z·c = 30000 км/с.

За законом Хаббла відстань до галактики r = V/H = 30000/63 =476 Мпк. Діаметр галактики рівний d = r·sin 10'' = 476·2·10^-4 = 0,08Мпк = 95 кпк. Галактика більша, ніж наша Галактика в 3 раза.

17. Довкола зірки масою рівною масі Сонця обертається планета. Орбіта перпендикулярна до картинної площини. Визначити масу планети, якщо променева швидкість зорі міняється на 20 м/с з періодом 100 діб.

Розв’язок.

Швидкість обертання планети довкола зорі , або .

Крім того, , або З цих двох виразів маємо

Далі скориставшись законом збереження імпульсу або

18. Визначте ексцентриситет земної орбіти, якщо відомо, що видимий діаметр Сонця при спостереженні з Землі змінюється з 31'31.8" до 32'36.4" протягом року.

Розв’язок:

Оскільки видимі кутові розміри об’єкту лінійно пропорційні відстані до нього. Отже ексцентриситет орбіт буде .

19. На скільки має раптово зменшитись маса Землі, щоб Місяць покинув її назавжди.

Розв’язок

Місяць можна вважати таким що рухається по коловій орбіті зі швидкістю: , тоді як для того щоб покинути Землю необхідно мати швидкість більше другої космічної .

Оскільки радіус місячної орбіти не змінюється, то для того щоб Місяць міг «втекти» від Землі необхідно, щоб нова маса Землі була менша за теперішню більше ніж вдвічі.

20. Дві зорі мають однакову абсолютну зоряну величину.

Температура першої 5000К, другої 10000К. Оцініть в скільки

разів відрізняються їх радіуси?

Розв’язок

Закон Стефана-Больцмана: . Оскільки абсолютні зоряні величини однакові, то це значить що і світність цих об’єктів однакова. А отже, . В наближенні, що зорі мають сферичну форму, отримуємо: . Перша зоря вчетверо більша за другу зорю.

21. Гора на лімбі Місяця має висоту 1 км. З якої відстані від

Місяця космонавт може побачити її неозброєним оком?

Розв’язок

Роздільна якість нормального людського ока сягає 1 – 3' (для яскравих об’єктів ця величина може бути більша).

Тому зі звичайних тригонометричних міркувань: де α- роздільна кутова здатність людського ока в радіанах. Отже в залежності від гостроти зору космонавта ця відстань змінюється від 3000 км до 1000 км.

22. В далекій галактиці спалахнула наднова з видимою зоряною величиною 15^m. Оцінити червоне зміщення лінії Нα в спектрі галактики (λ6563A). (Абсолютна зоряна величина наднової складає -20^m).

Розв’язок

Згідно формули можна оцінити відстань до об’єкта (в класичних міркуваннях) Із закону Хаббла , отже швидкість υ ≈ 7500 км/с·Мпк (приймаємо сталу Хабла 75км/с·Мпк).

Зміщення спектральної лінії буде складати, згідно ефекту Доплера:

23. Дві зірки m_v= 5 не розрізняються оком, а спостерігаються як одна зоря. Вказати видиму зоряну величину цієї зірки.

Розв’язок

Згідно формули Погсона . Для системи зір . Отже використавши першу формулу: .

24. Вкажіть орбітальну швидкість комети, яка має параболічну орбіту, в момент мінімальної відстані до Сонця, якщо ця відстань дорівнює 1 а.о. Порівняйте з орбітальною швидкістю Землі.

Розв’язок

Для руху по параболі сумарна енергія системи двох тіл Отже (очевидно, що комета, яка рухається по параболічні орбіті буде мати другу космічну швидкість відносно Сонця).

Земля обертається по майже коловій орбіті, відповідно її швидкість близька до першої космічної відносно Сонця .

Таким чином відношення швидкостей комети та Землі буде складати 2.

25. Астрофізики майбутнього проводили ремонт свого космічного корабля поблизу міжзоряного залізного сферичного астероїда з радіусом 1000 км. Під час ремонту один з дослідників загубив маленький стальний підшипник, який почав вільно падати на поверхню астероїда. На якій мінімальній відстані від астероїда проводились ремонтні роботи, якщо відомо, що підшипник впавши на поверхню повністю розплавився. Відомо, що при ударі половина кінетичної енергії підшипника пішла на його розігрів.

Розв’язок.

Розрахуємо гравітаційну енергію підшипника яка перейде в кінетичну в момент удару його об поверхню астероїда: де M - маса астероїда, m- маса підшипника, R - радіус астероїда, r - відстань між центром астроїда та підшипником.

Оскільки астероїд міжзоряний, то впливу інших зір немає, отже і джерел випромінювання також немає, і початкова температура підшипника буде близька до 0 К.

Енергія яка потрібна для розігріву підшипника до температури плавлення, а потім на його розплавлення буде складати: , де - питома теплоємність сталі, - питома теплота плавлення.

Температура плавлення сталі складає 1400⁰С, отже різниця температур на яку потрібно розігріти підшипник буде порядку . ∆T=1670К.

За умовою задачі половина кінетичної енергії при ударі перейшла в теплоту розігріву підшипника, то , підставивши значення енергій, та врахувавши, що маса стального астероїда отримаємо значення відстані між астероїдом та підшипником на початку падіння , де

Підставивши значення радіусa отримаємо r ≈ 6400км .

Отже висота над астероїдом h = r – R = 5400км.

26. В книзі відомого американського фантаста А. Азімова «В полоні у Вести» головний герой Мур спостерігає за небом поблизу Вести. Ось як він описує свої враження: Його пошуки Землі залишились безрезультатними. Її не була видно. Очевидно, Веста затуляла і Землю і Сонце. И все-таки Мур не міг не звернути увагу на інші небесні тіла. Зліва від нього був Юпітер – яскрава куля, розміром з горошину. Мур помітив і два супутника, які обертались навколо нього. Неозброєним оком був помітний і Сатурн - яскрава планета невеликого розміру, яка при спостереженні з Землі може конкурувати з Венерою. Чи вірно описав можливу картину автор?

Розв’язок:

Очевидно, що Веста могла затуляти своїм тілом і Сонце, і Землю, тим більш, що Земля є внутрішньою планетою, по відношенню до Вести.

Афелій на відстань до Вести складає 2,57 а.о., для Юпітера 4,95. Отже мінімальна відстань порядку (нахили орбіт та довготи висхідного вузла майже однакові для Юпітера та Вести). Екваторіальний радіус Юпітера R_{J =} 71500 км. Отже, найбільший кутовий діаметр Юпітера, при спостереженні з Вести може бути ,що є на межі чутливості людського ока. І для звичного «космонавта» швидше за все не буде здаватись кулею.

Галілеєві супутники Юпітера мають видиму зоряну величину при спостереженні з Землі (в протистоянні) менше 6^m, в космічних умовах, звісно людське око їх може розрізнити. Але з Землі їх важко помітити неозброєним оком, оскільки поблизу наявний яскравий Юпітер (кутова відстань між Юпітером і Іо, при спостереженні з Землі, , для Калісто ситуація дещо «краща» . Але з Вести яка знаходиться майже в два рази ближче теоретично людина може добре помітити Калісту, Ганімеда та можливо Європу. Видимість двох супутників можна пояснити, що інші могли зайти за планету, чи проходити по диску (нахил орбіт супутників майже нульовий). З наданих даних можна оцінити і зоряні величини супутників.

Сатурн не може бути дуже слабким, і має завжди бути помітним неозброєним оком (звісно, якщо він не проектується поряд зі Сонцем на небі).

Сатурн при спостереженні з Землі виглядає як зоря (в протистоянні) -0.2^m. Тоді як Венера -3^m ─ -4^m. Отже Сатурн з Венерою не «конкурує» при спостереженні з Землі. При спостереженні з Вести, яка знаходиться на 2,5 а.о від Сонця то Сатурн буде конкурувати з Венерою (спостереження якої будуть ускладнені внаслідок яскравого Сонця поблизу). Можна оцінити зоряні величини Венери та Сатурна (відстані відомі, тому Венера з Вести має m~0^m, Сатурн m≥0^m (в протистоянні) ).

Якщо провести інтерпретацію, що Сатурн з Вести виглядає як і Венера, то і це не вірно (Венера буде приблизно -1^m, а Сатурн не значно відрізнятись від спостережуваного з Землі)

В ході розв’язку вважалось, що альбедо тіл перерахованих в задачі близькі за значенням, і фази спостережуваних об’єктів подібні.

27. Сонячна стала складає 1366 Вт/м². Вважаючи, що енергія Сонця береться з реакції синтезу ядер гелію з ядер водню, обрахуйте скільки водню згорає щосекунди на Сонці.

Розв’язок:

Маса спокою протона m_H = 1,6726 10^-27 кг, маса спокою ядра гелію (альфа-частинка) m_He = 6,6429 10^-27кг, вважаємо, що переважно більша частина енергії синтезу йде у електромагнітне випромінювання. Тоді дефект маси в реакції утворення одного ядра гелія буде складати: Δm = 4 m_H – m_He = 4,58 10^-29кг, що відповідає енергії 4,122 10^-12Дж.

Сонячна стала – це потік електромагнітної енергії яка надходить на орбіту Землі від Сонця. З неї легко розрахувати загальну енергію, що випромінюється Сонцем за одну секунду

4πf · r² = 4π 1366 2,23 10²² Дж = 3,8 10²⁶ Дж.

Отже, кількість реакцій синтезу ядер гелію за одну секунду на Сонці має складати .

Помноживши цю величину на 4 отримаємо кількість атомів водню, які потрібні для світіння Сонця: 3,6·10³⁸, а отже загальна маса згораємого водню складає близько 6 ·10¹¹ кг.

28. Планета Марс при найбільшому наближенні до Землі має кутовий діаметр 25''. Який буде діаметр її фотографічного зображення отриманого за допомогою рефрактора, у якого фокусна відстань F =19.5 м?

Розв’язок

Кут 180×3600'' відповідає 3,141592 радіан, звідси 1'' еквівалентна 4,848·10^-6рад (1/206265) і отже

.

29. Якщо окуляр, при використанні з об’єктивом з фокусною відстанню F=1м дає збільшення в 50 разів, то яке збільшення він дасть при використанні з об’єктивом з фокусною відстанню 5 м?

Розв’язок:

З виразу для підсилення

30. Глибина головного мінімуму подвійної системи рівний 5,5^m, а глибина вторинного мінімуму дорівнює 3.0^m. Оцініть відношення світимостей подвійної системи при частковому та повному затемненні.

Розв’язок

Світимість зорі може бути оцінена за формулою , де F - реєструєма густина потоку випромінювання, тоді при великих значеннях r відношення світимостей подвійної системи при частковому та повному затемненнях буде приблизно рівним відношенню потоків. Таким чином

31. Густина нейтронної зорі ρ = 10¹⁷ кг/м³. Обчисліть мінімальний період для супутника на круговій орбіті навколо зорі.

Розв’язок

Мінімальний період, це коли супутник обертається фактично на нульовій висоті над поверхнею.

32. Два малих тіла Сонячної системи віддаляються від Сонця в афелії в r₁ = 2 та r₂ = 11 разів більше ніж у перигелії. У скільки разів відрізняються їх орбітальні періоди, якщо їх перигелійні відстані однакові.

Розв’язок:

Великі піввісі малих тіл можна знайти по формулі , де r₀ - відстань до Сонця в перигелії, r- відстань до Сонця в афелії. Згідно закону Кеплера:

33. Зоря спектрального класу K головної послідовності має світимість 0.4L􀁿. Потік випромінювання від зорі рівний 6.23·10^-14 Вт м^-2. Чому дорівнює відстань до цієї зорі? Ви можете знехтувати впливом атмосфери.

Розв’язок

Потік випромінювання де L- світимість зорі,

d- відстань до зорі.

Отже,

34. В спектрі далекої галактики спостерігається подвійна лінія водню Н_α , одна з компонент формується в самій галактиці, інша в міжгалактичній хмарі. В скільки разів міжгалактична хмара ближче до спостерігача, якщо відомо, що зсув від лабораторного положення лінії Δλ для компонент відрізняється в 1,41 рази.

Розв’язок.

Зсув ліній обумовлений ефектом Доплера . Згідно закону Хабла . Отже відношення відстаней складе:

, де індекс 1 для «галактичної» лінії, 2 – для лінії, яка формується в хмарі.

35. Як змінилося б число днів у році, якщо б Земля оберталася навколо власної вісі з тим же періодом, але в протилежному напрямку?

Розв’язок.

Зараз Земля обертається, так що сонячна доба довша за зоряну на час, що потребує поворот Землі на 1⁰. Якщо Земля оберталася б в протилежному напрямку, сонячна доба була б на цей же час коротша за зоряну. Зараз число сонячних діб на 1 менше за число зоряних (1⁰·365.25 діб ≈ 360⁰ – 1 оберт), число яких постійне і дорівнює 366,25, а в нашому гіпотетичному випадку було б на 1 більше, тобто 367,25.

36. В скільки разів зменшиться діаметр Сонця, якщо воно стиснеться в чорну діру.

Розв’язок

Варіант 1. Розміри чорної діри можна оцінити по формулі радіуса Шварцшильда: . Отже відношення радіусів складає 240000≈SrR. .

Варіант 2. Зорю можна вважати чорною дірою, якщо її радіус зменшився до такого, щоб друга космічна швидкість стала менша за швидкість світла.

37. Спалах наднової освітив першу газопилову оболонку, а через 7 років другу. Оболонки спостерігаються на відстані 8". Оцініть відстань до наднової.

Розв’язок

Оскільки ми знаємо відстань між оболонками d = 7світлових роки, то відстань до оболонок можна оцінити згідно формули: , де α - кутова відстань між оболонками в радіанах. Отже,

.

38. Скільки зір нульової величини можуть замінити світло усіх зір з середньою величиною 10.5, якщо їх кількість складає 546 тис?

Розв’язок

З виразу отримаємо Аналогічно і .

39. Чому рівна фокусна відстань об’єктива, який дає зображення Місяця діаметром в 15 мм?

Розв’язок

Фокусна відстань .

40. Чому дорівнює час між двома послідовними однойменними кульмінаціями Місяця?

Розв’язок

Кут, на який треба обернутися Землі, щоб Місяць повернувся до того ж меридіану, буде на 13,2° більше ніж 180° (13,2° - добове переміщення Місяця на небесній сфері). Земля повернеться на цей кут за 13.2°·24 год /180°=0,88 год ≈ 53 хв. Отже, час між двома послідовними однойменними кульмінаціями Місяця дорівнює 24 год 53 хв.

41. Знайти абсолютну візуальну зоряну величину η Фенікса, якщо її візуальна зоряна величина m_V=2,23, а річний паралакс π''=0'',039.

Розв’язок

З формул та (π в пк) отримаємо: .

Підставляємо і отримуємо

42. Тіло запущене із далекого супутника Юпітера проти напрямку орбітального руху планети зі швидкістю рівною орбітальній швидкості Юпітера. Оцініть через який час воно досягне Сонця?

Розв’язок

Юпітер знаходиться на відстані Наближено можна вважати, що тіло падає по сильно-витягнутому еліпсу, з великою піввіссю За третім законом Кеплера , де двійка в знаменнику означає, що рухаємось лише до Сонця.

43. Подвійна система складається з двох зір однакових розмірів, але їх температура в два рази відрізняється. Як сильно може змінитись видима зоряна величина подвійної, якщо відомо, що нахил орбіти складає 0°.

Розв’язок

Оскільки розміри зірок однакові, то світимість буде визначатись температурою: , різниця зоряних величин буде складати:

44. В цьому році найкращі умови видимості Юпітера приходяться на жовтень та листопад. В які місяці буде найкраща видимість Юпітера в наступному році. Велика піввісь Юпітера 5.2 а.о.

Розв’язок

Період обертання Юпітера навколо Сонця . Синодичний період обертання , S = 1,092 роки ≈ 399 діб.

Тому в наступному році видимість Юпітера буде оптимальною на 34 пізніше, тобто в листопаді та грудні.

45. Білий ведмідь мешкає на північному полюсі, і скориставшись годинником полярників виміряв тривалість дня та ночі. Що триває довше на полюсі, день чи ніч? Відповідь аргументуйте.

Розв’язок

Оскільки орбіта Землі еліптична, і перигелій Земля проходить у січні з максимальною орбітальною швидкістю, то ніч, яка припадає в північній півкулі на зиму, коротша. Врахування рефракції призводить до скорочення ночі.

46. В майбутньому мешканці величезного атмосферного цепеліна Венери виміряли добовий паралакс Землі, і він склав 25". Під яким кутом видно пару Земля - Місяць аеронавтам Венери. Радіус Венери прийняти 6050 км, радіус орбіти Венери 108 млн. км, радіус орбіти Місяця 384 тис. км.

Розв’язок

Добовий параллакс , кут під яким видно пару Земля-Місяць . Тому кут під яким видно пару Земля-Місяць .

47. Місяць в деякий день знаходився у верхній кульмінації опівдні, коли він буде кульмінувати наступного дня?

Розв’язок

Сидеричний період обертання Місяця навколо Землі складає 27,3 доби. Отже, час який Місяць проходить за добу складає . Проходження кульмінації буде пізніше на 53 хвилини.

48. Перший міжзоряний корабель досягнув околиць системи α Центаври (α=14^h39^m35^s, δ=-60°50', π=0.75"). Які екваторіальні координати і видима зоряна величина Сонця будуть для спостерігачів з корабля? Абсолютна зоряна величина Сонця М=4,8.

Розв’язок

Схилення Сонця буде за модулем таке ж, як і α Центаври, тільки з протилежним знаком. Пряме піднесення буде зсунуте на 12 ^h, тобто α=2^h 39^m 35^s, δ=60° 50' .

Видима зоряна величина

49. Яка ширина місячного термінатора. Радіус Місяця складає 1740 км.

Розв’язок

Оскільки вказано радіус Місяця, то він вважається кулею, термінатор має ширину внаслідок кінцевого розміру диска Сонця, і ширина термінатора буде відповідати куту на поверхні рівному кутовому діаметру Сонця. .

Врахування реального рельєфу (шершавості поверхні) дещо збільшує цю оцінку.

50. Затемнювано-подвійна система складається з двох однакових зірок. На скільки змінюється видима зоряна величина цієї системи? Вважати, що промінь зору розташований в площині орбіти системи.

Розв’язок

Згідно формули Погсона , нехай - освітленість від пари зірок, Е₁ - освітленість від однієї зорі, тоді .

51. Телескоп астронома-аматора має діаметр 30 см та фокусну відстань 300 см. Який масштаб у фокусній площині такого телескопа?

Розв’язок

Розмір об’єкта в 1 градус складатиме на 1⁰, або 0,87 мм на 1^’, або 0,015 мм на 1 ′′, або 1,15^‘ ≈ 69^” на 1 мм.

52. Космологічне червоне зміщення ядра галактики z=0.02. З якою швидкістю галактика рухається відносно спостерігача і на якій відстані вона розташована?

Розв’язок

Для невеликих значень червоного зміщення справедливо

v = zc = 6000 км/с (придатне використання і релятивіської формули) відстань .

53. Комета має афелій поблизу орбіти Нептуна. Який мінімальний період обертання може бути у такої комети? Радіус орбіти Нептуна складає 30,1 а.о.

Розв’язок

Мінімальний період буде мати комета, що рухається по сильно-витягнутій орбіті, з перигелієм поблизу Сонця.

Отже, період складатиме

Що не дуже відрізняється від реальних комет, так у комети Галлея період обертання 75 років.

54. Колова орбіта сферичного штучного супутник Землі (ШСЗ) лежить у площині екватора. Радіус супутника R = 1 м, його середня відстань від планети h=2000 км, альбедо (коефіцієнт відбивання світла від поверхні) α =0,8. Видима зоряна величина Сонця ms=-26,74m . Чи можна побачити цей ШСЗ неозброєним оком?

Розв'язок

Загальний світловий потік, відбитий від супутника (світність супутника) Lсуп. = pR²F_sα, де F_s - потік від Сонця на відстані орбіти Землі. Оскільки h << 150 млн.км, то можемо знехтувати його зміною внаслідок руху супутника по орбіті навколо Землі.

На поверхні планети світловий потік від супутника

Отже, освітленість Сонцем поверхні Землі на екваторі (вдень), більша за освітленість, створену супутником (уночі) у

разів.

Далі з формули Погсона маємо: m_суп. = m_s +2,5lg =-26,74^m +2,5·log(1013)=5,76^m.

Отже, блиск супутника буде на межі чутливості неозброєного ока.

55. На картах зоряного неба нанесено положення Місяця на фоні зір станом на 23 год. 10 хв. Київського часу 9 лютого 2012 р. Та 0 год. 45 хв. Київського часу 11 лютого 2012 року. Користуючись приведеними картами з нанесеною сіткою екваторіальних координат та лінійкою знайти:

1) кутову швидкість зміщення Місяця відносно зір (в градусах за добу),

2) нахил орбіти Місяця (Місячного шляху на фоні зір) до площини небесного екватора,

3) середню лінійну швидкість руху Місяця на орбіті (в км/год.), якщо відстань до нього у ці дні становила 369 415.92 км,

4) екваторіальні координати Місяця на ці два моменти часу.

Примітка: на карті нанесена сітка небесних координат в 2-й екваторіальнійсистемі; небесні меридіани (годинні круги) нанесені з інтервалом 2 дугові години (1 година дуги = 15 градусів дуги), а добові паралелі з інтервалом 20 градусів.

Роз’язок

1). Кутова швидкість Місяця відносно зір розраховується за лінійним зміщенням на карті (s=2.25 см), масштабом карти (k=30 град./4.5 см = 6.6(6) град./см) та інтервалом часу в добах (t=1 дб + (1 год. 35 хв./ 24 год.)= 1.66 дб): ω= ks/t=14.07 град./дб

2). Нахил орбіти Місяця (Місячного шляху на фоні зір) до площини екватора визначається за арксинусом кута: arcsin(δ/φ)=22.2 град., де δ — зміщення Місяця по годинному кругу, φ=ks — кутове зміщення Місяця на фоні зір.

3). Лінійна швидкість - це кутова швидкість (рад./год) помножена на відстань: v=ωR=3780 км/год.

4). Координати Місяця 9 лютого 2012 р. о 23 год. 10 хв. Київського часу: він перебуває в площині небесного екватора, тому його схилення δ=0; пряме сходження розраховується по відстані від точки осіннього рівнодення: α=12h -ksα/15o=11h 04m . Координати Місяця 11 лютого 2012 р. о 0 год. 45 хв.

Київського часу: його пряме сходження α=12h , схилення δ=-ksδ/15o=-5o40'.

56. Видимі кутові розміри Крабовидної туманності 420'' x 290'' (див. фотографію), а відстань до неї 2 кпк. Знайти лінійні розміри Крабовидної туманності.

Розв’язок

1пк=3.2616св.року. Отже, відстань до Крабовидної туманності: D=2 кпк = 6,5тис.св.р.

Розглядаючи прямокутний трикутник (див. рисунок), у якому катети — відстань D, та половина відповідного поперечного розміру d, ВМХ, а кут між D і гіпотенузою дорівнює половині відповідного кутового розміру, отримаємо наступні розміри ВМХ:

d₁ = 2D·tg [(420''/3600)^o/2] = 13.23 св.р.,

d₂ = 2D·tg [(290''/3600)o/2] = 9.14 св.р.

Отже, лінійні розміри Крабовидної туманності:

13,23 св.р. x 9.14 с.в.

57. Період пульсара в Крабоподібній туманності становить 0,0334 секунди. У яких межах і з якою періодичністю буде змінюватися значення цього періоду, виміряне на Землі? Коли воно буде досягати максимуму і мінімуму?

Розв’язок

Крабоподібна туманність знаходиться поблизу екліптики. На спостережуваний період буде впливати рух Землі навколо Сонця. Зміна періоду (v - складова швидкості Землі у напрямку від туманності, c - швидкість світла). Максимальний період буде під час віддалення Землі від Крабоподібної туманності (березень), мінімальний - під час наближення (вересень). Проте, амплітуда річних коливань буде всього дорівнювати 10^-4 від величини періоду, тобто 3·10^-6 секунди.

58. Поїзд рухається зі швидкістю 60 км / год на захід уздовж паралелі 60^o с. ш. Яку тривалість світлого часу доби зафіксує пасажир цього потяга 21 марта? Рефракцією знехтувати.

Розв’язок

Швидкість руху Землі навколо своєї осі дорівнює . Рух поїзда на захід фактично уповільнює цю швидкість до 834 - 60 = 774 . Протяжність дня для нерухомого спостерігача 21 березня дорівнює 12 год (якщо знехтувати рефракцією), а для пасажира вона зросте обернено пропорційно падінню швидкості обертання Землі і стане рівною 12,93год = 12год 56хв.

59. Блиск Венери під час верхнього з'єднання дорівнює -3,9 ^m, а під час найбільшої елонгації -4,4 ^m. Чому дорівнює блиск Венери в цих конфігураціях при спостереженні з Марса? Відстань Венери від Сонця дорівнює 0,72 а. о., а Марса від Сонця 1,52 а. о.

Розв’язок

Відстань від Марса до Венери під час верхнього з'єднання дорівнює 1,52 а.о. + 0,72 а.о. = 2,24 а.о., а під час найбільшої елонгації (1,52 а.о.) ² - (0,7 а.о.) ² - 1.34 а.о. Враховуючи це отримуємо блиск Венери в цих конфігураціях (-3,3 ^m і -3,0 ^m)

60. Блиск Юпітера в протистоянні становить -2,8 ^m, а блиск Урана в протистоянні +5,7 ^m. Порівняти альбедо Юпітера і Урана. Відстань Юпітера від Сонця 5,2 а.о., Урана - 19,2 а.о., радіуси планет відповідно 71,4 і 25,4 тис. км.

Розвязок

Яскравість планети в протистоянні пропорційна ,

де h - альбедо, R - радіус планети, а a - радіус орбіти в астрономічних одиницях. Після обчислень отримуємо, що альбедо Юпітера лише на 20% перевершує альбедо Урана.

РОЗДІЛ 3. АСТРОНОМІЧНІ ОЛІМПІАДИ

2010-2011 н.р.