Игры и стратегии

Игровые задачи являются непременной составляющей любого математического соревнования, будь то городская олимпиада или математический бой. Многие школьные учителя не уделяют таким задачам заслуженного внимания, считая, что они не несут в себе никакой содержательной идеи. На самом же деле, задачи-игры очень полезны для развития математической культуры и четкого понимания того, что значит решить задачу.

Прежде чем приступить к рассмотрению задач, нам потребуется осознать, что соображения типа «если он ходит так, то я хожу так» не являются, как правило, решением игры. На самом деле, для решения игровой задачи необходимо, во-первых, грамотно и четко сформулировать стратегию, во-вторых, доказать, что она действительно ведет к выигрышу, и, в-третьих, показать, что описанная стратегия реализуема. Особое внимание следует обратить именно на третий пункт: именно про него чаще всего забывают и именно из-за него, казалось бы, совершенно правильная стратегия оказывается не более чем бессмысленным набором действий, который далеко не всегда сможет обеспечить выигрыш в игре.

Но не будем спешить. Заметим лишь, что во всех задачах ответить надо на один и тот же вопрос – кто побеждает: начинающий (первый) или его соперник (второй)? Свой ответ, естественно, Вам потребуется аргументировать.

Игры-шутки

Первый класс игр, о которых пойдет речь – игры-шутки. Это игры, исход которых не зависит от того, как играют соперники. Поэтому для решения такой игры, по сути, не нужно указывать выигрышную стратегию: она будет состоять для игрока лишь в выборе, следует ли ему ходить первым либо же вторым. Достаточно лишь доказать, что выигрывает тот или иной игрок (независимо от того, как будет проходить игра).

Задача 1. Числа от 1 до 20 выписаны в строчку. Игроки по очереди расставляют между ними плюсы и минусы. После того, как все места заполнены, подсчитывается результат. Если он четен, то выигрывает первый игрок, если нечетен, то второй.

Решение. Заметьте, что четность результата не зависит от расстановки плюсов и минусов игроками, а зависит только от количества нечетных чисел в первоначальном наборе. Так как в данном случае их 10 (т. е. четное число), то в такой игре выигрывает первый игрок, причем независимо от того, как будет ходить он и его соперник.

Задача 2. Дана клетчатая доска размерами

а) 9 × 10; б) 10 × 12; в) 9 × 11.

За ход разрешается вычеркнуть любую горизонталь или любую вертикаль, если в ней к моменту хода есть хотя бы одна невычеркнутая клетка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение. Эта игра – не совсем шутка. В ней выигрывающий, допустив ошибку, может проиграть. Эта ошибка состоит в том, что он после своего хода оставляет невычеркнутые клетки только в одном столбце или только в одной строке, предоставляя противнику возможность выиграть в один ход. Проигравшим в этой игре является, тем самым, тот, кто сделает этот роковой ход. Заметим, что оставшуюся после вычеркивания горизонтали часть клетчатой доски m×n можно представить себе как доску (m – 1)×n. Аналогично, после вычеркивания вертикали остается доска m×(n – 1). Ситуация, в которой каждый ход является «роковым», только одна – это доска 2×2. Таким образом, выигрывает игрок, после хода которого она возникла. Однако, как мы видели, при каждом ходе суммарное количество горизонталей и вертикалей на доске уменьшается на 1. Поэтому четность этой суммы в начале игры определяет победителя. В пункте а) выигрывает первый игрок, а в пунктах б) и в) – второй. Заметим, что в пункте б) решающим соображением может быть и симметричная стратегия второго игрока, с принципами которой мы ознакомимся чуть позже.

Задача 3. Двое по очереди ломают шоколадку 6×8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет в этой игре?

Решение. Основное соображение: после каждого хода количество кусков увеличивается ровно на 1. Сначала был один кусок. В конце игры, когда нельзя сделать ни одного хода, шоколадка разломана на маленькие дольки 1×1. А их 48! Таким образом, игра будет продолжаться ровно 47 ходов. Последний, 47-й ход (так же, как и все другие ходы с нечетными номерами) сделает первый игрок. Поэтому он в этой игре побеждает, причем независимо от того, как будет играть.