Понятие делимости

Разобравшись с основной теоремой арифметики и примерами ее применения, теперь мы сделаем небольшое отступление к самому началу нашей темы. Мы с Вами введем вполне конкретные определения для тех понятий, которыми уже начали пользоваться давным-давно, попробуем их формализовать, а также обратим внимание на некоторые немаловажные свойства.

Определение 1. Пусть a и b – целые числа, причем b ≠ 0. Тогда число a делится нацело (чаще говорят просто «делится») на число b (или, что то же самое, число b является делителем числа a), если существует такое целое число q, что a = q ∙ b.

Обозначение. a b.

На самом деле, введенное нами определение содержит в себе одну из серьезных теорем теории чисел. Однако мы с Вами не будем вдаваться в дебри теории, а позволим себе в этом и некоторых следующих определениях небольшие неточности, наподобие этой, о которых зачастую многие даже не вспоминают.

Замечание. Нередко вместо фразы «число a делится на число b» говорят «число a кратно числу b» либо же «число b делит число a». Все эти выражения имеют один и тот же смысл. Мы будем пользоваться каждым из них.

Подчеркнем, что запись a b означает не какое-то действие, которое надлежит произвести над числами a и b, а некоторое утверждение, касающееся этих чисел. В зависимости от того, каковы числа a и b, утверждение a b может быть верным либо неверным. Так, например, 4 2 верно, а 4 3 – неверно.

Заметим, что введенное отношение делимости между числами a и b обладает довольно интересными свойствами:

1. Рефлексивность (возвратность).

Любое число a делится само на себя – a a.

2. Транзитивность (переходность).

Если a b и b c, то a c.

Доказательство. Поскольку a b, то, по определению, существует некоторое целое число q такое, что a = q ∙ b. Аналогично так как b c, то существует целое число p, причем b = p ∙ c. Тогда a = q ∙ b = q ∙ (p ∙ c) = (q ∙ p) ∙ c. Поскольку q ∙ p, очевидно, целое, то a c.

3. Антисимметричность.

Если a b и b a, то либо a = b, либо a = –b.

Упражнение. Докажите свойства 1 и 3.

Определение 2. Если a и b – два целых числа, отличных от нуля, и если число k таково, что a k и b k, то k называется общим делителем чисел a и b.

Заметим, что произвольные два числа всегда обладают общими делителями. Таковыми являются числа 1 и –1. Дабы избежать в дальнейшем лишних уточнений, далее мы будем считать, что все рассматриваемые числа являются натуральными (а не целыми, как мы предполагали в первых двух определениях), если не указано другое.

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Определение 3. Наибольшим общим делителем (НОД) двух чисел называется наибольший из общих делителей этих чисел.

Определение 4. Наименьшим общим кратным (НОК) двух чисел называется наименьшее число, делящееся на каждое из них.

Примеры.

1. 33 = 3 ∙ 11

121 = 11²

НОД (33; 121) = 11

НОК (33; 121) = 3 ∙ 11².

2. a = 2³ ∙ 3¹⁰ ∙ 5 ∙ 7²

b = 2⁵ ∙ 3 ∙ 11

НОД (a; b) = 2³ ∙ 3

НОК (a; b) = 2⁵ ∙ 3¹⁰ ∙ 5 ∙ 7² ∙ 11.

3. a = 2⁵ ∙ 3⁶ ∙ 6² ∙ 8 = 2¹⁰ ∙ 3⁸

b = 2 ∙ 3 ∙ 7³ ∙ 15 = 2 ∙ 3² ∙ 5 ∙ 7³

НОД (a; b) = 2 ∙ 3²

НОК (a; b) = 2¹⁰ ∙ 3⁸ ∙ 5 ∙ 7³.

Обратите особое внимание на то, что во всех примерах мы использовали основную теорему арифметики, то есть разложили каждое из данных чисел на произведение простых сомножителей. Без выполнения этого шага нахождение НОД и НОК довольно-таки значительно усложняется.

Отметим также, что, как оказалось, НОД – это ни что иное как общая часть (пересечение) разложений на простые сомножители двух данных чисел, а НОК – объединение этих разложений. Попробуйте устно доказать этот факт.

Теперь же мы можем дать более четкое определение понятию взаимно простых чисел, расширив его на множество целых чисел (в прошлой лекции мы ввели его лишь для натуральных чисел).

Определение 5. Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

В дальнейшем, говоря о взаимно простых числах, мы будем чаще пользоваться именно этим, более общим, определением.