6.2. Прямая в пространстве

В зависимости от способа задания прямой в пространстве можно рассматривать различные её уравнения.

Прямая проходит через точку M₀(x₀,y₀,z₀) параллельно

вектору S = (m,n,p). В этом случае прямая задается

каноническими уравнениями:

(6.7)

или параметрическими уравнениями:

, (6.8)

t - параметр, - < t < 

ВекторS = (m,n,p) называется направляющим вектором прямой.

2. Прямая проходит через две точки M₁(x₁,y₁,z₁) и M₂(x₂,y₂,z₂):

(6.9)

3. Прямая задается как линия пересечения двух плоскостей:

(6.10)

(6.10) - общие уравнения прямой в пространстве.

Пример 1. Даны четыре точки А₁(4,7,8), А₂(-1,13,0), А₃(2,4,9), А₄(1,8,9). Составить уравнения:

а) плоскости А₁А₂А₃;

б) прямой А₁А₂;

в) прямой А₄М, перпендикулярной к плоскости А₁А₂А₃;

г) прямой А₄N, параллельной прямой А₁А₂.

Вычислить:

д) синус угла между прямой А₁А₄ и плоскостью А₁А₂А₃;

е) косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью А₁А₂А₃.

►

а) По формуле (6.4) составим уравнение плоскости А₁А₂А₃:

По правилу треугольников вычислим определитель третьего порядка:

6(x-4) + 35(z-8) + 82(y-7) + 26(z-8) - 38(x-4)+ 5(y-7)= 0

Упрощаем (приводим подобные слагаемые и сокращаем на (-3) ):

6x - 7y - 9z + 97 = 0

б) По формуле (6.3):

в) В качестве направляющего вектораS прямой А₄М можно взять нормальный векторn плоскости А₁А₂А₃. Имеем:

Mzzzzzzzzzzz

s n = (6,-7,-9) =S.

A

По формуле (6.3):

A2

A1

A3

Рис.6.1

г) В качестве направляющего вектора прямой А₄N можно взять вектор (-5,6,-8)

По формуле (6.2.3):

A

N

A

A

д ) Векторn - нормальный вектор плоскости А₁А₂А₃, имеет координаты:

n = (6,-7,-9).

Направляющий векторS прямой А₁А₄ равен:

Р ис.6.2 А₁А₄ = (-3,1,1)

cos(n ^S ) = sin  = =

=  0,8

е) Угол между плоскостями - это угол между их нормальными векторами.

n₁ = (6,-7,-9) - нормальный вектор плоскости А₁А₂А₃;

n₂ = (0,0,1) - нормальный вектор плоскости Оху;

cos(n₁ ^n₂ ) = =  -0,7◄

Упражнения к п.6

1. Составить уравнение плоскости, проходящей

а) через точку М(5,-1,3) параллельно плоскости 3х-2у+5z+7 = 0

б) параллельно оси Ох и через две точки М₁(4,0,-2) и М₂(5,1,7)

в) через точку С(3,4,-5) параллельно двум векторамa = (3,1,-1) и b = (1,-2,1)

г) через точку М₁(0,-4,2) перпендикулярно векторуМ₁М₂, если М₂(1,3,2)

д) через точки М₁(1,1,1) и М₂(2,3,4) перпендикулярно к плоскости

2х-7у+5z+9 = 0

е) через точку М₀(7,-5,1) и отсекающей на осях координат равные положительные отрезки.

2. Построить плоскости, указать особенности в их расположении:

а) 2х+3у+z-6 = 0 в) 2z-9 = 0 д) x = 0 ж) z = -5

б) х+2z-4 = 0 г) 2z+y = 0 е) 4y+1 = 0 з) z = 0

3. Найти угол между плоскостями:

а) 4х-5у+3z-1 = 0, х-4у-z+9 = 0

б) 2х+у-2z+6 = 0, 2х-2у+z+8 = 0

в) х-у+7 = 0, 2х+2у+z = 0

г) х+у+z = 0, х+у+z = 5

4. Найти угол между плоскостями, проходящими через точку М(-1,1,-1), одна из которых содержит ось Оу, а другая - ось Oz.

5. Найти расстояние от точки М(1,5,-2) до плоскости 2х+2у+z-7 = 0

6. Две противоположные грани куба лежат на параллельных плоскостях:

2х-3у+6z-14 = 0 и 4х-6у+12z+21 = 0. Найти объем куба.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р(1,0,2) перпендикулярно плоскостям 2х-у+3z-1 = 0, 3х+6у+3z-5 = 0.

8. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(-3,1,-9) относительно плоскости 4х-3у-z-7 = 0.

9. Найти расстояние между параллельными плоскостями:

3х-2у+6z-7 = 0, 3х-2у+6z-35 = 0.

10. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1,-1,2) перпендикулярно плоскостям

х-2у+z-4 = 0, х+2у-2z-4 = 0.

11. Найти длину высоты пирамиды SABC, проведенной из вершины S на основание АВС, если S(1,4,-2), A(0,-1,1), B(3,5,1), C(1,-3,-1).

12. Составить канонические уравнения прямой, проходящей

а) через точку М(-1,3,2) параллельно векторуs = (2,-3,5)

б) через точку М(2,1,0) параллельно прямой

в) через точку М(2,-1,5) параллельно оси Ox, (Oy, Oz).

13. Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки

М₁(1,6,-4), М₂(3,5,1).

Найти точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.

14. Написать канонические уравнения следующих прямых:

а) EMBED Equation.2 б)

15. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(3,1,-4), перпендикулярно к плоскости 5х-у+2z-3 = 0.