Упражнения к п.4
1 . По данным векторам a и b построить следующие векторы:
a
)
2a+b; б)
a-3b; в)
a+
b;
г)
–3a-
b.
2 . Дан АВС. Выразить векторы AM, BN, CP, совпадающие с медианами, через векторы AB = c, BC = a, CA = b.
3
.
Найти координаты вектора b=3a
+5a
-a
, если
a =(4,1,3), a =(1,2,-3), a =(16,9,1)
4
.
При каких
,
векторы a (-2,3,
)
и b(
)
коллинеарны?
5 . Даны точки A(-1,5,-10), B(5,-7,8), C(2,2,-7), Д(5,-4,2). Проверить, что векторы АВ и СД коллинеарны. Установить, во сколько раз один длиннее другого.
6. Даны три вершины параллелограмма: А(1,-3,3), В(3,2,1), С(6,4,4). Найти четвертую вершину Д.
7 . Векторы АВ=(2,6,-4) и АС=(4,2,-2) совпадают со сторонами АВС. Определить координаты векторов, совпадающих с его медианами АМ, BN, СД и вычислить их длину.
8 . Найти координаты и длину векторов, совпадающих с диагоналями параллелограмма, построенного на векторах а=(3,-5,8) и b=(-1,1,-4).
9. Являются ли точки А(3,-1,2), В(1,2,-1), С(-1,1,-3), Д(3,-5,3) вершинами трапеции?
10. Найти координаты точки пересечения медиан в АВС: А(1,2,-1), В(-1,6,3), С(2,0,-2).
1 1. Найти координаты вектора с, направленного по биссектрисе угла между векторами а=(-3,0,4) и b=(5,2,14).
12. Даны точки А(3,3,3) и В(-1,5,7). Найти координаты точек С и Д, делящих отрезок АВ на три равные части.
13. Дан АВС: А(1,1,1), В(5,1,-2), С(7,9,1). Найти длину биссектрисы АД.
Контрольные задания к п.4
4
.1.
На векторах ОА=(5,10,15) и ОВ=(0,10,5) построен
ОАВ. Точка М делит сторону АВ в
отношении 2:3. Найти координаты вектора
ОМ. (В качестве точки О можно взять начало
координат).
4.2.
Дан
АВС:
А(2,-3,1), В(4,11,6), С(4,-4,3). Найти длины сторон
АС, АВ и длину биссектрисы АД.
4.3. Даны две вершины А(2,-3,-5) и В(-1,3,2) параллелограмма АВСД и точка пересечения Е(4,-1,7) его диагоналей. Найти координаты остальных вершин параллелограмма.
4.4. Отрезок А(-1,8,-3), В(9,-7,-2) разделен точками М1, М2, М3, М4 на пять равных частей. Найти координаты точек М1 и М3.
4.5. Определить координаты А и В концов отрезка, который точками С(2,0,2) и Д(5,-2,0) поделен на три равные части.
4 .6. В треугольной пирамиде SАВС известны векторы SA=a, SB=b, SC=c. Найти вектор SO, если т.О является центром масс АВС.
4 .7. Дана прямоугольная трапеция АВСД, длины оснований АД и BС которой соответственно равны 4 и 2, а угол Д равен 450. Найти проекции векторов АД, АВ, ВС, АС на ось l, определяемую вектором СД.
4 .8. Найти координаты единичного вектора е, направленного по биссектрисе угла, образуемого векторами a=(2,-3,6) и b=(-1,2,-2).
4 .9. Векторы АВ=(4,-2,8) и АС=(0,6,-2) определяют стороны АВС. Найти длину медианы, проведенной из вершины В.
4 .10. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a=(1,-5,3) и b=(0,5,9).
4 .11. Найти вектор х из уравнения 3(а1-х) + 2(а2+х) = 5(а3+х), если а1=(2,5,1), а2=(10,1,5), а3=(4,1,-1).
4.12. Дан АВС: А(1,2,3), В(7,10,3), С(-1,3,1). Показать, что угол А - тупой.
4.13. Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами А(2,3,4), В(3,1,2), С(4,-1,3).
4.14. На оси OZ найти точку, равноудаленную от точек М1(2,4,1) и М2(-3,2,5).
4 .15. Дано: АВ=а+2b, BC=-4a-b, СД=-5a-3b. Доказать, что АВСД - трапеция.