Контрольные задания к п.5

Д аны векторы a,b и c;

а ) вычислить смешанное произведение векторов a, b и c,

б ) найти модуль векторного произведения векторов a, b;

в ) вычислить скалярное произведение векторов b и c,

г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны какие-либо два вектора из заданных трёх векторов;

д) проверить, будут ли компланарны три заданных вектора.

5.1. =2 -3 + , = +4 , =5 +2 -3 ;

5.2. =3 +4 + , = -2 +7 , =3 -6 +21 ;.

5.3. =2 -4 -2 , =7 +3 , =3 +5 -7 ; .

5.4. =-7 +2 , =2 -6 +4 , = -3 +2 ;

5.5. =-4 +2 - , =3 +5 -2 , = +5 ;

5.6. =2 -3 + , = +4 , =5 +2 -3 ;

5.7. =3 +4 + , = -2 +7 , =3 -6 +21 ;

5.8. =2 -4 -2 , =7 +3 , =3 +5 -7 ;

5.9. =-7 +2 , =2 -6 +4 , = -3 +2 ;

5.10. =-4 +2 - , =3 +5 -2 , = +5 ;

5.11. =2 -3 + , = +4 , =5 +2 -3 ;

5.12. =3 +4 + , = -2 +7 , =3 -6 +21 ;

5.13. =2 -4 -2 , =7 +3 , =3 +5 -7 ;

5.14. =-7 +2 , =2 -6 +4 , = -3 +2 ;

5.15. =-4 +2 - , =3 +5 -2 , = +5 .

Вершины пирамиды находятся в точках A,B,C и D. Вычислить: a) площадь указанной грани; б) площадь сечения, проходящего через середину ребра l и две вершины пирамиды; в) объём пирамиды ABCD.

5.16. A(3,4,5),B(1,2,1),C(-2,-3,6),D(3,-6,-3); a) ACD; б) l=AB,C и D

5.17. A(-7,-5,6),B(-2,5,-3),C(3,-2,4),D(1,2,2); a) BCD; б) l=CD,A и B.

5.18. A(-1,4,5),B(1,2,1),C(-2,--1,6),D(-1,-6,--1); a) ABC; б) l=AB,C и D

5.19. A(-2,4,5),B(2,2,2),C(-2,--2,6),D(-2,-6,--2); a) BCD; б) l=BD,A и C

5.20. A(-2,2,7),B(2,1,2),C(-2,--1,6),D(-2,-6,--3); a) ACD; б) l=AD,B и C

5.21. A(3,4,1),B(2,1,2),C(-1,-3,6),D(3,-6,-3); a) ABD; б) l=AB,D и C

5.22. A(-7,-1,6),B(-1,1,-3),C(3,-1,4),D(2,1,1); a) BDC; б) l=DC,A и B.

5.23. A(-2,4,1),B(2,1,2),C(-1,--2,6),D(-2,-6,--2); a) ABD; б) l=AB,D и C

5.24 A(-1,4,1),B(1,1,1),C(-1,--1,6),D(-1,-6,--1); a) BDC; б) l=BC,A и D

5.25. A(-1,1,7),B(1,2,1),C(-1,--2,6),D(-1,-6,--3); a) ADC; б) l=AC,B и D

5.26. A(3,4,1),B(2,1,2),B(-1,-3,0),D(3,-0,-3); a) CBD; б) l=CB,D и A

5.27. A(-8,-1,0),B(-1,1,-3),C(3,-1,4),D(2,1,1); a) BDA; б) l=DA,C и B.

5.28. A(-2,4,1),B(2,1,2),C(-1,--2,0),D(-2,-0,--2); a) CBD; б) l=CB,D и A

5.29 A(-1,4,1),B(1,1,1),C(-1,--1,0),D(-1,-0,--1); a) BDA; б) l=BA,C и D

5.30. A(-1,1,8),B(1,2,1),C(-1,--2,0),D(-1,-0,--3); a) CDA; б) l=CA,B и D

6. Плоскость и прямая в пространстве

6.1. Плоскость

В декартовых прямоугольных координатах уравнение любой плоскости приводится к виду:

Ax + By + Cz + Д = 0 (6.1)

где А,В,С,Д - определенные числа, А² + В² + С²  0; и обратно, любое уравнение вида (6.1) является уравнением некоторой плоскости.

Уравнение (6.1) называется общим уравнением плоскости, коэффициенты уравнения А,В,С определяют координаты вектораn, перпендикулярного к плоскости.

Вектор = (А,В,С) называется нормальным вектором плоскости (6.1).

Существуют различные способы задания плоскости в пространстве и соответствующие им виды уравнений плоскости.

Плоскость проходит через точку M₀(x₀,y₀,z₀) перпендикулярно вектору

n = (А,В,С). Такому заданию плоскости соответствует общее уравнение:

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0 (6.2)

2. Уравнение плоскости в отрезках:

(6.3)

где a, b, c - соответствующие координаты точек пересечения плоскости с осями Ox, Oy, Oz.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки M₁(x₁,y₁,z₁), M₂(x₂,y₂,z₂), M₃(x₃,y₃,z₃), не лежащие на одной прямой, имеет вид:

(6.4)

Уравнения (6.4), (6.3), (6.2) могут быть приведены к виду (6.1).

Рассмотрим простейшие задачи:

Величина угла  между плоскостями A₁x + B₁y + C₁z + Д₁ = 0 и

A₂x + B₂y + C₂z + Д₂ = 0 вычисляется по формуле:

сos  = cos (n₁ ^n₂ ) =

= (6.5)

Условие параллельности двух плоскостей:

(6.6)

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

А₁А₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0

2. Расстояние d от точки M₀(x₀,y₀,z₀) до плоскости (6.1):

d =