Упражнения к п.3

1. Решить системы уравнений матричным способом и по правилу Крамера:

а) б) в)

г) д) е)

2. Решить системы методом Жордана-Гаусса:

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

Контрольные задания к п.3

Решить системы, выбрав подходящие способы решения: правило Крамера, матричный способ, метод Жордана-Гаусса.

3.1. 3.16.

3.2. 3.17.

3.3. 3.18.

3.4. 3.19.

3.5. 3.20.

3.6. 3.21.

3.7. 3.22.

3.8. 3.23.

3.9. 3.24.

3.10. 3.25.

3.11. 3.26.

3.12. 3.27.

3.13. 3.28.

3.14. 3.29.

3.15. 3.30.

4. Векторы. Линейные операции над векторами. Координаты вектора.

Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке А, а конец - в точке В, то вектор обозначается . Если начало и конец вектора не указаны, то вектор обозначается и т.д.

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым, обозначается .

Длиной или модулем вектора называется расстояние между точками А и В, обозначается или .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых, обозначаются:  .

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковую длину:

=

Из определения равенства векторов следует, что векторы можно переносить параллельно самим себе, не нарушая их равенства. Такие векторы называются свободными.

Линейные операции над векторами: умножение вектора на число, сложение векторов.

П роизведением вектора а на число называется вектор , длина которого равна , а направление совпадает с при >0 и противоположно при <0:

С уммой двух векторов а и b называется третий вектор с, который находится по правилу параллелограмма или треугольника:

a

c

a

c

b

b

c = a + b c = a + b

рис.4.1

П равило треугольника можно обобщить. Если имеется n векторов а₁, а₂,..., а_n, то их сумма находится последовательным применением правила треугольника (правило замыкания ломаной):

+ + +

Рис.4.2

Прямая l с заданным на ней направлением, принимаемым за положительное, называется осью l.

Проекцией вектора на ось l называется число, обозначаемое и равное , где - угол между вектором и положительным направлением оси l.

=

a

a

=MN,

=-MN,

M N l

Рис.4.3

К оординатами вектора а называются его проекции x_a, y_a, z_a на оси координат Ox, Oy, Oz: =(x_a, y_a, z_a)

z

a

k

i j y

x Рис.4.4

Длина вектора а=(x,y,z) вычисляется через координаты вектора по формуле

Линейные операции над векторами в координатной форме:

Е сли даны точки M и N , то вектор MN будет иметь координаты:

M N= .

Д ва вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:

.

Деление отрезка в данном отношении.

Даны точки А и В . Точка M определена условием:

A M B

Если >0, то

Доказывается, что координаты x, y, z точки М задаются равенствами:

.

Если =1, то М - середина отрезка АВ.