Упражнения к п.2

1. Даны матрицы А и В. Найти: А+В, 2А, А-3В, если:

а) А= , В=

б) А= , В=

2. Даны матрицы А и В. Найти: АВ и ВА, если

а) A= , В=

б) А= , В=

в) А= , В=

г) А= , В=

3. Даны матрицы: А= , В= , X= , Y=

Найти:

а) АВ; б) ВХ; в) В^ТВХ; г) АY; д) A^ТAY; е) А²-4А-9Е; ж) А^-1

4. Дана матрица А. Найти А^-1; проверить, что АА^-1 = А^-1А = Е:

а) А= ; б) А= в) A= ; г) A=

Контрольные задания к п.2

Даны две матрицы А и В. Найти : а) АВ; б) ВА; в) А^-1; г) АА^-1; д) А^-1А; е) A B.

3. Системы линейных уравнений

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

(3.1)

a_ijR; b_iR; i=1,...,m; j=1,...,n

- неизвестные, а_ij - коэффициенты при неизвестных;

b_i - свободные члены;

A=[a_ij]_mxn - матрица системы; А=

=[a_ijb_i]_mx(n+1) - расширенная матрица системы:

= ;

Х= - матрица-столбец неизвестных,

В= - матрица-столбец свободных членов.

Система (3.1) может быть записана в матричной форме:

АХ = В (3.2)

Решением системы (3.1) называется набор из n чисел

( , ,..., ),

после подстановки которого в каждое уравнение системы получается верное числовое равенство.

Если система имеет решения, то она называется совместной, если решений нет, то система несовместна.

Для решений системы (3.1) возможны три случая:

1) система имеет единственное решение,

2) система не имеет решений,

3) система имеет бесконечно много решений.

3.1. Матричный способ решения

Этот способ может быть применен, если m = n и det A0.

В этом случае существует матрица А^-1, обратная к А. Умножая матричное уравнение (3.2) слева на матрицу А^-1, получим:

(А^-1 A)Х = А^-1В

Е Х = А^-1В

Х = А^-1В

Найденная матрица Х является единственным решением системы (3.2) или (3.1).

Пример 1. Решить матричным способом систему:

►Выпишем матрицы А и В:

А= ; В=

Убедимся, что det A0, и найдем А^-1:

см. Пример 3 п.2

A^-1=

Тогда:

X=A^-1B=  =

X= =

Ответ: система имеет единственное решение, которое можно записать в одном из следующих видов :

X = или или (-10,-6,-4). ◄

3.2. Правило Крамера

Это правило может применяться при тех же условиях, что и матричный способ решения систем, т.е. m=n и det A0.

В этом случае единственное решение системы может быть найдено по формулам:

- формулы Крамера

где =det A0 - главный определитель системы (3.1),₁, ₂,..., _n – второстепенные определители системы (3.1), _i получается из , если i-тый столбец в определителе  заменить столбцом свободных членов.

Пример 3. Решить систему уравнений по правилу Крамера:

►Выпишем расширенную матрицу данной системы:

=

и найдём , ₁, ₂, ₃:

 = = -5  0; ₁ = = 0;

₂ = = -25; ₃ = = 15

По формулам Крамера получим:

Ответ: система имеет единственное решение (0,5,-3). ◄

3.4. Метод Жордана-Гаусса (метод исключения неизвестных)

Метод Жордана-Гаусса является наиболее общим точным методом решения и исследования систем линейных уравнений. Сущность его состоит в том, что посредством элементарных преобразований система приводится к треугольному или трапецеидальному виду, из которого все решения системы могут быть найдены непосредственно.

Элементарными преобразованиями системы являются:

1) перестановка любых двух уравнений системы

2) умножение любого уравнения системы на число , 0

3) вычеркивание уравнения, все коэффициенты которого и свободный член

равны нулю

4) сложение двух уравнений системы

Любое элементарное преобразование системы не меняет множество ее решений.

Чаще всего преобразования выполняются не с самой системой, а с ее расширенной матрицей, при этом элементарные преобразования системы легко превращаются в элементарные преобразования матрицы.

Рассмотрим метод Жордана-Гаусса на примерах.

Пример 4. Решить систему методом Гаусса:

►Первый шаг. Исключим неизвестную х₁ из второго и третьего уравнений, для этого первое уравнение сложим со вторым уравнением, умноженным на (-2), результат запишем на месте второго уравнения; первое уравнение, умноженное на (-7), сложим со вторым уравнением, умноженным на (-2), результат запишем на месте третьего уравнения.

Схематично эти действия показаны ниже:



Второй шаг. Исключим неизвестную х₂ из третьего уравнения , для этого второе уравнение, умноженное на 9, сложим с третьим уравнением, умноженным на (-5), результат запишем на месте третьего уравнения.

Схематично эти действия выглядят следующим образом:



Система приведена к треугольному виду. Поднимаясь снизу вверх по системе, последовательно находим:

из третьего уравнения: x₃=2

из второго уравнения: 5x₂=15+5x₃;  5x₂=25;  x₂=5

из первого уравнения: 2x₁=5-x₂+x₃  2x₁=2  x₁=1.

Ответ: система имеет единственное решение .

Покажем, как эти преобразования выполняются с расширенной матрицей:

A =

Первый шаг (исключение х₁ из второго и третьего уравнений):

Элемент а₁₁=2 0 называется разрешающим, в столбце под ним нужно получить нули. Это достигается

умножением второй строки на (-2) и сложением ее с первой строкой,

умножением первой строки на 7, третьей строки на (-2) и их сложением:

Второй шаг (исключение х₂ из третьего уравнения):

Элемент а₂₂=5  0 называется разрешающим, над ним нужно получить нуль. Для этого умножим вторую строку на 9, третью строку на (-5) и сложим их. Результат запишем на месте третьей строки:

Полученной матрице соответствует система:

которая имеет единственное решение:

◄

На практике преобразования, выполненные с расширенной матрицей системы, формализуются: на некотором шаге после выбора разрешающего элемента преобразование элементов матрицы осуществляется по правилу:

1) элементы разрешающей строки и всех выше расположенных строк остаются неизменными; элементы разрешающего столбца, расположенные ниже разрешающего элемента, обращаются в нули;

2) все прочие элементы матрицы пересчитываются по правилу прямоугольника.

Схематично:

Пересчет элементов:

Пример 5. Решить систему методом Гаусса:

►Выпишем расширенную матрицу:

Выполним исключение неизвестных по формализованному правилу:

Первый шаг. Разрешающий элемент а₁₁=10. Элементы первой строки не меняются; в столбце под разрешающим элементом ставятся нули; пересчет всех других элементов производится по правилу прямоугольника: например, для элемента =3 пересчёт производится следующим образом:

разрешающий

элемент

Для всех оставшихся элементов пересчёт производится также по правилу прямоугольника:

разрешающий

элемент

Второй шаг:

Полученной матрице соответствует система:

,

которая имеет единственное решение:

◄

Пример 6. Решить систему методом Гаусса:

►Выпишем расширенную матрицу:

Выполним преобразования по формализованному правилу:

 

Последней матрице соответствует система:

Третье уравнение системы не имеет решений.

Ответ: система несовместна. ◄

Пример 7. Решить систему

►Выпишем расширенную матрицу и выполним первый шаг гауссовых исключений:

 

Разделим третью строку на 3 и выполним второй ход гауссовых исключений:

 

Последней матрице соответствует система уравнений:

Из второго уравнения находим х₂:

х₂ = -1+7х₃-5х₄

и, подставив в первое уравнение, получим х₁:

х₁ = 6-26х₃+17х₄

Ответ: ◄

Система имеет бесконечное множество решений.