Упражнения к п.8.
Вычислить пределы функций:
Контрольные задания к п.8
Вычислить пределы:
8.1.
8.16.
8.2.
8.17.
8.3.
8.18.
8.4.
8.19.
8.5.
8.20.
8.6.
8.21.
8.7.
8.22.
8.8.
8.23.
8.9.
8.24.
8.10.
8.25.
8.11.
8.26.
8.12.
8.27.
8.13.
8.28.
8.14.
8.29.
8.15.
8.30.
8.31.
8.46.
8.32.
8.47.
8.33.
8.48.
8.34.
8.49.
8.35.
8.50.
8.36.
8.51.
8.37.
8.52.
8.38.
8.53.
8.39.
8.54.
8.40.
8.55.
8.41.
8.56.
8.42.
8.57.
8.43.
8.58.
8.44.
8.59.
8.45.
8.60.
9. Непрерывность функции
Непрерывность функции определяется в точках, принадлежащих области определения функции.
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если
1) эта функция определена в некоторой окрестности точки х0;
2)
существует предел функции y=f(x) в точке
х0:
3) этот предел равен значению функции в точке х0,
т.е.
(f - непрерывна в точке х0)
(9.1)
С использованием односторонних пределов это определение будет иметь вид:
(9.2)
где 
- правосторонний предел функции f в точке
х0;
-
левосторонний предел функции f в точке
х0;
-
значение функции в точке х0.
Если условия (9.1) или (9.2) в точке х0 не выполняются, функция f называется разрывной в точке х0.
Если существуют конечные односторонние пределы f(x0+0),
f(x0-0), причем не все три числа f(x0), f(x0+0), f(x0-0) равны между собой, тогда x0 - точка разрыва первого рода.
Если в точке разрыва х0 хотя бы один из односторонних пределов f(x0+0) или f(x0-0) не существует или бесконечен, тогда х0 - точка разрыва второго рода.
Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.
Пример
1. Исследовать
на непрерывность функцию
Схематично построить ее график.
►Функция непрерывна во всех точках своей области определения и не определена в точке х0=4, т.е. f(4) - не существует.
Найдем односторонние пределы функции в точке х0=4:
а) левосторонний:
б) правосторонний:
Оба односторонних предела существуют и конечны. Это значит, что точка х0=4 является точкой разрыва первого рода. Во всех других точках действительной оси функция непрерывна.
Для построения графика функции найдем пределы при х®±¥:
y
4 x -
Рис.9.1
◄
Пример
2. Исследовать
на непрерывность функцию:
Построить график.
►Функция не определена при х0=5, т.е. f(5) - не существует.
Вычислим односторонние пределы функции в точке х0=5:
а)
левосторонний:
б)
правосторонний:
Функция
непрерывна на всей числовой прямой,
исключая точку х0=5.
В точке х0=5
эта функция имеет разрыв первого рода.
y
10
5
5
x Рис.9.2
0
◄
Пример
3. Исследовать
на непрерывность функцию
Построить график.
►В точке х0=1 функция не определена: f(1) - не существует.
Односторонние пределы:
а)
левосторонний:
б)
правосторонний:
В точке х0=1 функция имеет разрыв второго рода, во всех других точках числовой оси функция непрерывна.
Для построения графика вычислим пределы на бесконечностях:
y
y=1
1 x
Рис.9.3
◄
Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию
Построить график.
►Изменение
аналитического выражения функции
происходит в точках
Исследуем на непрерывность функцию в
этих точках, при всех других значениях
переменной х функция, как часть
элементарных функций
и
будет непрерывной.
Используем соотношение (9.2):
-
точка разрыва первого рода.
Аналогично
получим, что
- точка разрыва первого рода.
y
1
-
x
-1 Рис.9.4 
◄