78

Лекции по высшей математике Преподаватель Горюнова т.Ю.

1. Определители

1.1. Понятие определителя.

Определителем n-го порядка называется число , символически записываемое с помощью квадратной таблицы

и вычисляемое следующим образом:

n = 1 ,  = a₁₁= a₁₁

n = 2 ,  = = a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁

n = 3 ,  = = a_{11 -} a₁₂ + a₁₃

n = 4 ,  = =

=a₁₁ - a₁₂ + a_{13 -} a₁₄

и т.д.

Минором М_ij элемента a_ij в определителе  называется определитель, который остается после вычеркивания i-той строки и j‑того столбца в , на пересечении которых стоит элемент a_ij.

Алгебраическим дополнением А_ij элемента a_ij называется произведение

А_ij = (-1)^i+j M_{ij .}

Например,

 =

M₁₁= =11; A₁₁=(-1)¹⁺¹M₁₁=11

M₃₂= =17; A₃₂=(-1)³⁺²M₃₂= -17

Приведенные выше формулы вычисления определителей при n=1,2,3,4 с помощью понятия алгебраического дополнения могут быть записаны для произвольного n:

=

Для n=3 определитель  можно вычислить по правилу треугольников, которое легко запоминается с помощью схемы.

1.2. Свойства определителей.

Строку или столбец определителя называют его рядом.

1^о. Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на их алгебраические дополнения (разложение определителя по элементам ряда).

2^о. Определитель не меняется при замене всех его строк соответствующими столбцами ( транспонирование определителя ).

3^о. Определитель изменит знак, если поменять местами два соседних параллельных ряда.

4^о. Общий множитель элементов одного ряда можно выносить за знак определителя.

5^о. Сумма произведений элементов какого-либо ряда на ал­гебраические дополнения соответствующих элементов другого па­раллельного ряда равна нулю.

6^о. Определитель не изменится, если ко всем элементам какого‑либо ряда прибавить соответствующие элементы другого параллельного ряда, умноженные на одно и то же число .

Пример 1. Вычислить определитель:

► =

По свойству 4^о из первой строки вынесем общий множитель 10:

= 10 

Используя свойство 6^о, получим нули во втором столбце на выделенных

местах:

 = 10 

Д ля этого умножим первую строку на 3 и прибавим ко второй строке; умножим первую строку на 1 и прибавим к третьей строке; умножим первую строку на 2 и прибавим к четвертой строке; символически это можно записать так:

(3) (1) (2)

= 10 

Первая строка не меняется, результаты выполненных действий записываются на место второй, третьей и четвертой строк соответственно:

= 10 

Множители 3,1,2 выбираются так, чтобы после выполнения действий во втором столбце получались бы нули.

По свойству 1^о разложим определитель  по элементам второго столбца

= 10  (-1)  (-1)¹⁺² .

Полученный определитель можно вычислить по правилу треугольников, а можно преобразовать, умножая, например, первую строку на (-1) и складывая со второй и третьей, а затем раскладывая полученный определитель по элементам третьего столбца:

(-1)

= 10  = 10  =

=10  1  (-1)³⁺¹ = 10  (0+713) = 910

Пример 1 можно решать, получая нули в других строках или столбцах, при этом выполнять соответствующие преобразования по свойствам 1^о - 6^о. ◄

Упражнения к п.1

1. Вычислить определители:

а) б) в)

г) д) е)

Контрольные задания к п.1

Вычислить определитель

2. Матрицы

Матрицей называется упорядоченная прямоугольная таблица чисел

A=

a_ij - элементы матрицы (i=1,...,m; j=1,...,n) i- номер строки, j- номер столбца.

mxn - размер матрицы,

m - число строк матрицы А,

n - число столбцов матрицы А.

Кратко матрица может быть записана в виде А=[a_ij]_mxn

Если m=n, то матрица называется квадратной.

Квадратная матрица, у которой на главной диагонали находятся единицы, а все остальные элементы- нули, называется единичной.

[b₁,b₂,...,b_n] - матрица-строка; - матрица-столбец.

Матрица, в которой на место строк записаны соответствующие столбцы, называется транспонированной к данной и обозначается А^T.

Например, А= ; А^Т= .

Сложение матриц определяется для матриц одинакового размера и сводится к сложению соответствующих элементов матриц.

Умножение матрицы на число выполняется путем умножения на это число всех элементов матрицы.

Например,

А= ; В= ; А+В= ; 2А= .

Умножение матриц выполняется лишь в том случае, когда размеры матриц согласованы.

Итак, даны две матрицы

А=[a_ij]_mxn и В=[b_ij]_nxp

Определим их произведение АВ=С по следующему правилу:

выберем в матрице А i-тую строку, а в матрице В j-тый столбец и элемент с_ij матрицы С зададим равенством:

c_ij = a_i1b_1j+a_i2b_2j+ ... +a_inb_nj

Схематично:

размер матрицы-произведения

совпадают

По схеме можно видеть, что умножение матриц выполнимо, когда "длина" строки матрицы А равна "высоте" столбца матрицы В, или другими словами, число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Пример. Для матриц А и В найти АВ и ВА

A= ; B=

►АВ=С, вычислим элементы с_ij матрицы С:

c₁₁=11+2(-1)=-1; c₁₂=13+20=3; c₁₃=12+2(-6)=-10;

c₂₁=01+5(-1)=-5; c₂₂=03+50=0; c₂₃=02+5(-6)=-30.

Произведение ВА не существует, т.к. "длина" строки матрицы В не равна "высоте" столбца матрицы А. ◄

Замечание. В общем случае для умножения матриц перестановочный закон не выполняется:

АВ  ВА.

Если же АВ = ВА, то матрицы А и В называются перестановочными.

Сочетательный закон для умножения матриц справедлив:

(АВ)С = А(ВС)

Укажем еще некоторые особенности операции умножения матриц:

- произведение АВ может оказаться нулевой матрицей, хотя ни А, ни В не являются нулевыми;

- А² может быть нулевой матрицей, хотя сама матрица А - ненулевая;

- если АХ=ВХ, то не обязательно А=В.

Обратная матрица. Квадратная матрица А называется невырожденной, если её определитель det A не равен нулю:

det A0.

Матрица А^-1 называется обратной для матрицы А, если

АА^-1 = А^-1А = Е,

где Е - единичная матрица.

Доказывается, что А^-1 может быть найдена для невырожденной матрицы A=[a_ij]_nxn следующим образом:

A^-1=

где А_ij - алгебраические дополнения элементов а_ij данной матрицы A=[a_ij]_nxn.

Пример 3.

A=

Убедиться, что А^-1 существует, и найти ее.

►Вычисляем det A=-80 и алгебраические дополнения

A₁₁=(-1)¹⁺¹ =-2 A₂₁=(-1)²⁺¹ =3 A₃₁=-7

A₁₂=(-1)¹⁺² =2 A₂₂=(-1)²⁺² =1 A₃₂=-5

A₁₃=(-1)¹⁺³ =4 A₂₃=(-1)²⁺³ =-2 A₃₃=-6

Тогда

A^-1 =

Можно убедиться, что АА^-1 = А^-1А = Е, Е - единичная матрица. ◄