Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Согласно
общей теории линейных дифференциальных
уравнений, для решения уравнения
(1)
достаточно
знать фундаментальную систему решений
однородного уравнения
(2)
и
найти хотя бы одно решение
неоднородного уравнения. Тогда любое
решение
неоднородного уравнения имеет вид:
,
где
- произвольные постоянные.
В случае уравнения с постоянными коэффициентами мы в предыдущем параграфе указали способы нахождения его фундаментальной системы решений. Используя метод вариации постоянных, можно теперь найти решение и неоднородного уравнения. Однако, есть важные частные случаи, когда решение неоднородного уравнения можно отыскать значительно проще.
Пусть
, (3)
где
-
многочлены,
- действительные числа. Согласно принципу
суперпозиции достаточно уметь решать
уравнения вида
. (4)
Тогда,
решив каждое из уравнений
и просуммировав полученные решения, мы
получим решение исходного уравнения
(3).
Если
число
не является корнем характеристического
уравнения для (2), то ищем решение уравнения
(4) в виде
,
где
имеет
ту же степень, что и
.
Если число
- корень характеристического многочлена
кратности s,
то искать решение (4) следует в виде
где
имеет такую же степень, как многочлен
.
Если
правая часть (1) есть
,
то, в случае, когда число
не
есть корень
характеристического
уравнения для
(2), частное решение (1) в виде
где
- многочлены, степени которых равны
наибольшей из степеней многочленов
В случае же, когда
- корень характеристического многочлена
кратности s,
то ищем решение в виде
,
с
тем же условием на степени многочленов
и
.
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Будем
называть уравнение
глобально
асимптотически устойчивым,
если любое решение соответствующего
однородного уравнения стремится к 0 при
.
Рассмотрим подробнее случай уравнения с постоянными коэффициентами.
Теорема. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами глобально асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда действительные части всех корней характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения отрицательны.
Для проверки этого свойства можно использовать известный критерий Гурвица-Рауса, см [].
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим систему
Положением
равновесия
системы называется точка
для которой
,
…,
.
Для
линейной системы с матрицей системы
,
т.е. системы вида
глобальная асимптотическая устойчивость,
определяемая, как и раньше, равносильна
отрицательности действительных частей
собственных чисел матрицы
Для нелинейной системы положим
Из
отрицательности действительных частей
собственных чисел матрицы
следует, что система локально асимптотически
устойчива, т.е. для любого решения
системы с начальными данными
,
близкими к
имеем:
