Случай 3.

Уравнение (10) – однородное по , т.е. для любого k (16)

где a – показатель однородности.

Положим

где u – новая неизвестная функция, а под понимаем произвольную первообразную. Последовательно находим:

и т.д. (17)

Подставляя в уравнение (10) и учитывая (16), получаем:

что приводит к дифференциальному уравнению

Пример: _.

Показатель a однородности по равен 2, полагаем и используем формулы (17):

или, при (а , очевидно, решение),

, , , ,

где - произвольные постоянные.

Если рассмотреть случай , то формула и решение .

Линейные дифференциальные уравнения n-ного порядка. Общий вид линейного дифференциального уравнения n-ного порядка:

(1)

Функции называются коэффициентами уравнения, - его свободным членом (или правой частью).

Если , то это уравнение называется однородным , его вид: (2)

Если же , то уравнение (1) – неоднородное.

Предполагается, что все функции и функция непрерывны на некотором интервале (возможно, что –бесконечный интервал).

Представляя уравнение (1) в виде

соответствующем уравнению (1) предыдущего билета, обнаруживаем, что частные производные правой части по переменным равны, соответственно, и являются непрерывными на функциями.

Поэтому, по сформулированной в билете теореме 14.1 о существовании и единственности решения задачи Коши, для любого набора чисел , существует единственное решение уравнения (1) такое , что

Можно доказать, что решение определено на всем .

Уравнения (1) и (2) мы часто будем записывать в виде

и ,

соответственно, где использовано обозначение

(3)

называется линейным дифференциальным оператором, сопоставляющим n-раз дифференцируемой функции новую функцию, представляющую собой результат выполнения всех содержащихся в (3) действий.

Например, , а , то .

В случае, если , получим .

Имеет место теорема.

Теорема . Пусть - линейный дифференциальный оператор (3). тогда для любых двух функций , имеющих на n производных и любых чисел имеем

(4)

Доказательство.► По свойству производной порядка k:

(5)

Согласно определению (3) и используя (5), получаем:

◄

Следствие. Для любых функций имеющих на n производных и любых чисел имеем

.

Рассмотрим множество решений уравнения .

Теорема. Множество решений линейного однородного дифференциального уравнения (2) является векторным пространством.

Доказательство. Достаточно доказать, что если - решения уравнения (2), то - решение (2), и если - решение, а - любая постоянная, то - решение (15.2). Действительно, если ,то по теореме 15.1, и .

Линейная зависимость функций. Определитель вронского

Перейдем к более глубокому изучению свойств векторного пространства решений уравнения Мы установим ниже, что оно имеет размерность .

Определение. Пусть _,…, - функции, имеющие все производные до (n – 1)-го порядка включительно. Определителем Вронского функций _,…, называется

величина ₍₁₎

Определение. Пусть _,…, определены нa интервале . Мы назовем их линейно зависимыми, если существуют постоянные _,…, не все равные 0, такие, что для всех ₍₂₎

Функции, которые не являются линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Линейная независимость означает, что из равенства (2) следует, что _.

Теорема. Если _,…, - линейно зависимы и имеют производные до (n —1) - го порядка включительно, то _, .

Доказательство. Вполне аналогично доказательству для уравнения второго порядка.

Теорема . Если _,…, являются решением уравнения и в некоторой точке , то _,…, линейно зависимы на (и, следовательно, , .

Доказательство. Вполне аналогично доказательству для уравнения второго порядка