Пример решения задачи №1 Линейная парная регрессия

По данным представленным в таблице, изучается зависимость результативного признака (У) от факторного (Х).

№ п/п	Расходы на рекламу, тыс. грн	Доход от продажи продукции, тыс. грн
Номер предприятия	Х	У
1	14,4	75
2	16,0	84
3	17,2	91
4	20,0	104
5	14,8	72
6	16,2	69
7	17,4	80
8	15,0	73
9	24,0	102
10	21,6	98

Задание

1. Постройте поле корреляции

2. Рассчитайте параметры парной линейной регрессии, и объяснить их смысл.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Вычислить стандартную ошибку оценки регрессии.

5.Вычислить точечную оценку прогноза для аналогичных предприятий, которые вкладывают в рекламу тыс. грн.

6. Построить 95% доверительный интервал:

1. для коэффициента корреляции;

2. для функции регрессии;

3. для индивидуальных значений Y таких же предприятий;

4. для параметров регрессионной модели;

5. для параметра .

7. Оценить на уровне значимости значимость уравнения регрессии У по Х:

1. Используя F – критерий Фишера;

2. Используя t – распределение Стьюдента.

7. Определить значимость коэффициента корреляции.

8. Найти коэффициент детерминации и объяснить его смысл.

Решение:

1. Корреляционное поле.

Изобразим полученную зависимость графически точками координатной плоскости (рис. 1.1). Такое изображение статистической зависимости называется полем корреляции.

Рис. 1.1 Корреляционное поле

По расположению эмпирических точек можно предполагать наличие линейной корреляции.

Уравнение регрессии будем искать в виде:

.

2. Рассчитаем параметры парной линейной регрессии.

Определим параметры уравнения по методу наименьших квадратов (МНК).

Система нормальных уравнений метода наименьших квадратов может быть записана в следующем виде:

Разделив каждое уравнение на n, получим .

Из первого уравнения выразим , подставив в уравнение ,

Получим , где .

Здесь ; ; ; ;

1. Составим расчетную таблицу 1.1:

Расчетная таблица

Таблица 1.1

№ п/п
1	14,4	75	1080	207,36	5625	73,183	-1,817	3,302
2	16	84	1344	256	7056	78,885	-5,115	26,167
3	17,2	91	1565,2	295,84	8281	83,161	-7,839	61,451
4	20	104	2080	400	10816	93,139	-10,861	117,961
5	14,8	72	1065,6	219,04	5184	74,608	2,608	6,803
6	16,2	69	1117,8	262,44	4761	79,597	10,597	112,303
7	17,4	80	1392	302,76	6400	83,874	3,874	15,005
8	15	73	1095	225	5329	75,321	2,321	5,387
9	24	102	2448	576	10404	107,393	5,393	29,089
10	21,6	98	2116,8	466,56	9604	98,841	0,841	0,707
Сумма	176,6	848	15304,4	3211	73460	73,183
Средние	17,66	84,8	1530,44	321,1	7346	78,885
							сумма	378,176

(Отметим, что свободный член реального экономического смысла не имеет)

Так как , то зависимость между X и Y прямая: с ростом вложений в рекламу наблюдается рост дохода. Коэффициент показывает, что при увеличении расхода на рекламу (Х) на 1 тыс. грн доход от продажи продукции в среднем увеличивается на 3,564 тыс. грн для подобных предприятий.

Полученную прямую построим по двум произвольным точкам:

x	10	25
	≈57, 5	≈111, 0

Рис. 1.2. Построение полученной прямой

Для дальнейших вычислений нам пригодятся уже вычисленные величины:

и