4. Диффузия электронов.

4.1. Дрейф электронов в слабоионизованном газе.

В период между столкновениями электрон ускоряется вдоль линии электрического поля . При столкновении он резко и случайным образом меняет направление своего движения, потом ускоряется вновь и т. д. В слабоионизованном газе встречи заряженных частиц друг с другом редки, сталкивается электрон в основном с нейтральными молекулами (атомами), причем столкновения эти чаще всего оказываются упругими. Систематическое движение вдоль направления действия внешней силы на фоне беспорядочного движения называется дрейфом. Ниже поведение электронов в поле рассматривается на основе элементарной теории. Суть ее состоит в том, что внимание концентрируется на одном «среднем» электроне. Рассматривается некое усредненное поведение одного электрона, а когда требуется вычислить какие-то величины, относящиеся к электронному газу в целом, все электроны считаются одинаковыми. Строгий подход основан на использовании кинетического уравнения для функции распределения электронов по скоростям и энергиям.

Акт рассеяния длится мгновение по сравнению со средним временем тс между столкновениями. Поэтому уравнение для истинной скорости данного электрона можно записать в виде

, (4.1)

где — изменение вектора скорости при i-м столкновении, которое происходит в момент , — дельта-функция, — скорость после столкновения. Усредним уравнение, поскольку следить за судьбой индивидуальной частицы просто немыслимо. Истинная скорость превращается при этом в среднюю скорость . Сумма усредняется по моментам времени столкновений и углам рассеяния между векторами и . Она приобретает смысл среднего изменения импульса в единицу времени , которое вычислялось в п. 3. Это есть сила трения (сопротивление), которая действует на электрон со стороны среды. Подставив ее по формуле (2.2), получим уравнение для средней скорости

, , (4.2)

где , напомним, — эффективная частота столкновений.

Проинтегрируем уравнение (4.2):

. (4.3)

После нескольких столкновений начальная направленная скорость электрона исчезает (она хаотизируется). Средняя скорость приобретает значение

, (4.4)

которое и представляет собою скорость дрейфа. Электрическая сила при дрейфе компенсирует силу трения. Все предыдущие рассуждения справедливы для электронов с определенным значением хаотической скорости . Вообще говоря, сечение и частота столкновений сложным образом зависят от энергии электрона , и формула (4.4) нуждается в усреднении по спектру.

Последовательный подход к вычислению скорости дрейфа основан на рассмотрении кинетического уравнения для функции распределения электронов по скоростям. Такой путь указывает, как нужно правильно усреднять формулу типа (4.4). При этом оказывается, что допущение о независимости эффективной частоты столкновений от скорости, во многих случаях вполне приемлемое, в точности сводит строгое выражение для к формуле (4.4), которую тогда вообще не нужно усреднять. Это обстоятельство служит весьма веским оправданием той широчайшей распространенности, которую получила предельно простая формула (4.4) при теоретических построениях и оценках. Для численных оценок проще всего, пользуясь экспериментальными данными о , относить к средней энергии электрона. Последняя зависит от поля, но на этот счет имеется справочный материал, и можно делать оценки.

Подвижностью называется коэффициент пропорциональности между величинами скорости дрейфа заряженной частицы и поля. Подвижность электронов равна

, . (4.5)

Поскольку средняя энергия электронов зависит от поля, зависимость от не является строго линейной, и подвижность, определенная формулой (4.5), зависит от поля. Но при теоретическом рассмотрении различных разрядных процессов, как правило, пользуются удобной для этой цели линейной связью (4.5) с . Для численных оценок подбирают разумное эффективное значение . Обычно это не нарушает качественных выводов теории, хотя в некоторых случаях нелинейность функции является причиной явно выраженных эффектов.

4.2. Диффузия электронов. Когда плотность частиц, находящихся в среде другого газа, неоднородна в пространстве, возникает диффузионный потоп, который стремится ее выровнять. Полный поток складывается из дрейфовых и диффузионных составляющих. Плотности потоков положительно и отрицательно заряженных частиц равны [Если газ течет со скоростью , к добавляются еще конвективные потоки .]

. (4.6)

Индексы у , , опущены. Коэффициенты диффузии равны

, . (4.7)

Плотности частиц удовлетворяют уравнениям непрерывности

, (4.8)

которые обобщают обычное уравнение, диффузии; — число актов рождения или гибели частиц в 1 см³ в 1 с (источники).

В предположении о постоянстве частоты столкновений согласно (4.5), (4.7) имеем

, (4.9)

где — истинно средняя энергия электронов, независимо от их энергетического спектра.

Если спектр максвелловский, равенство (4.9) справедливо при любой зависимости . Нужно только подставить в него строгое выражение для , вытекающее из кинетического уравнения. Это и естественно, ибо в этом случае , и (4.9) сводится к соотношению Эйнштейна

, (4.10)

которое имеет которое имеет общий термодинамический характер. Действительно, в состоянии термодинамического равновесия потоки отсутствуют, а плотности зарядов в поле ( — потенциал) удовлетворяют закону Больцмана , отсюда и получается (4.10).

При немаксвелловском спектре электронов и , как обычно и бывает в слабоионизованном газе, находящемся в поле, величина также характеризует среднюю энергию электронов, но не совпадает с нею точно. Отношение , соответствующее электронной «температуре», называют характеристической энергией. Она, как и спектр, зависит от .