Тема: Випадкові величини

Мета: розглянути поняття випадкової величини, Функції та закони розподілу випадкових величин, розвивати логічне мислення, виховувати вміння працювати самостійно

План

1 Випадкові величини та функції розподілу

2 Математичне сподівання та його властивості.

3 Дисперсія та її властивості.

4 Багатовимірні випадкові величини

5 Закон великих чисел

Перелік посилань:

1. Валєєв К. Г., Джалладова І. А. Збірник задач з теорії ймовірностей та математичної статистики: Навч. посіб. — К.: КНЕУ, 2005. — 284 с. [22-27]

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высш. школа, 2004. – 479 с. [55-62]

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высш. школа, 2005. – 404 с. [46-61]

4. Іванюта І.Д. та ін. Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики. – К.: Слово, 2003. – 272 с. [40-47]

5. Шефтель З. Г. Теорія ймовірностей: Підручник для пед. навч. закладів. - 2-е вид.. - К.: Вища шк., 1994. - 193 с.[57-80]

Приклади розв’язку задач

Задача 1. Маємо 4 заготівки для виготовлення деталей. Ймовірність виготовлення придатної деталі дорівнює 0,75. Знайти закон розподілу випадкової величини Х - кількість заготівок, що їх буде використано для виготовлення придатної деталі. Знайти .

Розв’язання

Подамо закон розподілу для випадкової величини Х у табличній формі. Очевидно, що випадкова величина може набувати значень 1, 2, 3, 4. Значення Х = 1, буде тоді, коли з першої заготівки виготовлено стандартну деталь, а ймовірність цього дорівнює 0,75. Випадкова величина набуває значення 2, якщо з першої заготівки виготовлено браковану деталь, а з другої — придатну. За теоремою множення імовірностей імовірність цієї події Аналогічно, Х=3, якщо деталі, виготовлені з першої та другої заготівок, браковані, а деталь, яку виготовлено з третьої заготівки — придатна. Нарешті, Х = 4, якщо деталі, виготовлені з перших трьох заготівок, браковані. Запишемо закон розподілу:

	1	2	3	4
	0,75	0,1875	0,046875	0,15625

Легко перевірити, що сума ймовірностей у законі розподілу дорівнює 1. Знайдемо математичне сподівання та дисперсію випадкової величини за наведеними щойно формулами.

Задача 2. Задано функцію

Довести, що можна дібрати такі значення при яких буде функцією розподілу ймовірностей випадкової величини Х. Знайти

Розв’язання

Щоб знайти скористаємося неперервністю функції розподілу в точках х = 1 і х = 4. Дістанемо систему рівнянь:

Отже,

Якщо доведемо, що на цьому проміжку функція монотонно зростає,то вона є функцією розподілу ймовірностей випадкової величини Х.

Похідна дорівнює нулю при На проміжку похідна функції додатна, а отже, ця функція зростає.

Висновок: задає закон розподілу випадкової величини Х.

Тоді - щільність розподілу

Обчислюємо ймовірність:

Контрольні завдання

1 Дискретні випадкові величини X i Y задано законами розподілу:

Хi	N1+1	N2+3	N1+4
Рi	0,2	0,5	а

Yi	N1-1	N2-2	N2+3
Рi	0,4	0,2	а

Обчислити

_{Варіант 1 N1=0, N2=2 Варіант 2 N1=0, N2=4}

_{Варіант 3 N1=2, N2=2 Варіант 4 N1=2, N2=4}

_{Варіант 5 N1=3, N2=2 Варіант 6 N1=3, N2=3}

2 Випадкову величину X задано щільністю розподілу f(x). Потрібно:

1. знайти функцію розподілу ймовірностей;

2. обчислити середнє квадратичне відхилення величини Х;

_{Варіант 1 Варіант 2}

_{Варіант 3 Варіант 4}

_{Варіант 5 Варіант 6}

Самостійна робота № 5 (14 год)